Номер 11.20, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.20, страница 306.

11.20 a) $2 \cos 2x + 4 \sin x = 3$. Является ли число $\frac{5\pi}{6}$ решением этого уравнения?

б) $2 \cos 2x + 3 = 4 \cos x$. Является ли число $-\frac{7\pi}{3}$ решением этого уравнения?

а) Чтобы проверить, является ли число $x = \frac{5\pi}{6}$ решением уравнения $2 \cos 2x + 4 \sin x = 3$, нужно подставить это значение $x$ в уравнение и проверить, получится ли верное равенство.

1. Найдем значение $\sin x$ при $x = \frac{5\pi}{6}$:

$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

2. Найдем значение $\cos 2x$ при $x = \frac{5\pi}{6}$. Сначала вычислим $2x$:

$2x = 2 \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.

Теперь вычислим косинус:

$\cos(2x) = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

3. Подставим найденные значения в левую часть уравнения:

$2 \cos 2x + 4 \sin x = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 2 = 3$.

4. Сравним результат с правой частью уравнения:

$3 = 3$.

Так как левая часть уравнения равна правой, равенство верное.

Ответ: Да, является.

б) Чтобы проверить, является ли число $x = -\frac{7\pi}{3}$ решением уравнения $2 \cos 2x + 3 = 4 \cos x$, подставим это значение в обе части уравнения.

1. Упростим угол $x$, используя периодичность функции косинус (период $2\pi$):

$x = -\frac{7\pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$.

Найдем значение $\cos x$:

$\cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(-2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.

Так как косинус — четная функция ($\cos(-a) = \cos(a)$), то:

$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

2. Найдем значение $\cos 2x$. Сначала вычислим $2x$:

$2x = 2 \cdot \left(-\frac{7\pi}{3}\right) = -\frac{14\pi}{3} = -4\pi - \frac{2\pi}{3}$.

Вычислим косинус двойного угла:

$\cos(2x) = \cos\left(-\frac{14\pi}{3}\right) = \cos\left(-4\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.

$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

3. Подставим найденные значения в обе части уравнения и сравним их.

Левая часть: $2 \cos 2x + 3 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = -1 + 3 = 2$.

Правая часть: $4 \cos x = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

4. Сравним результаты:

$2 = 2$.

Так как левая часть уравнения равна правой, равенство верное.

Ответ: Да, является.