Номер 11.21, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.21, страница 306.

11.21 a) $3 \cos 2x - 5 \cos x = 1$; б) $2 \cos 2x + 4 \sin x = 3$.

Сколько решений имеет это уравнение на отрезке $[0; 2\pi]$?

Выпишите их.

а) $3 \cos 2x - 5 \cos x = 1$

Для решения данного уравнения необходимо привести его к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$3(2\cos^2 x - 1) - 5 \cos x = 1$
$6\cos^2 x - 3 - 5 \cos x = 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$6\cos^2 x - 5 \cos x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинуса $[-1; 1]$, то и для $t$ должно выполняться условие $t \in [-1; 1]$.
Получим квадратное уравнение:
$6t^2 - 5t - 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $t \in [-1; 1]$.
Корень $t_1 = \frac{4}{3} > 1$, следовательно, он не является решением (посторонний корень).
Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$.

Выполним обратную замену:
$\cos x = -\frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем решения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.
Рассмотрим две серии решений:
1) Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$ получаем $x = \frac{2\pi}{3}$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
2) Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=1$ получаем $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
При других целых значениях $k$ решения выходят за пределы указанного отрезка.

Таким образом, на отрезке $[0; 2\pi]$ уравнение имеет 2 решения.
Ответ: На отрезке $[0; 2\pi]$ уравнение имеет 2 решения: $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$.

---

б) $2 \cos 2x + 4 \sin x = 3$

Используем формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2(1 - 2\sin^2 x) + 4 \sin x = 3$
$2 - 4\sin^2 x + 4 \sin x = 3$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$-4\sin^2 x + 4 \sin x - 1 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить более удобный вид:
$4\sin^2 x - 4\sin x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sin x$. Учитывая, что $|\sin x| \le 1$, получаем условие $y \in [-1; 1]$.
Квадратное уравнение примет вид:
$4y^2 - 4y + 1 = 0$

Левая часть уравнения является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2y - 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что $2y - 1 = 0$, то есть $y = \frac{1}{2}$.

Значение $y = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $y \in [-1; 1]$.
Выполним обратную замену:
$\sin x = \frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения можно записать в виде двух серий:
1) $x = \arcsin(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
2) $x = \pi - \arcsin(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем решения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.
1) Из серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
2) Из серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $x = \frac{5\pi}{6}$. Это значение также принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
При других целых значениях $n$ решения выходят за пределы указанного отрезка.

Таким образом, на отрезке $[0; 2\pi]$ уравнение имеет 2 решения.
Ответ: На отрезке $[0; 2\pi]$ уравнение имеет 2 решения: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.