Номер 11.27, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.4. Однородные уравнения - номер 11.27, страница 309.

Условие.

11.27 a) $ \sin x - 2 \cos x = 0; $

б) $ \sin x + 5 \cos x = 0; $

в) $ 2 \sin x - \cos x = 0; $

г) $ 5 \sin x + \cos x = 0; $

д) $ 2 \sin x - 3 \cos x = 0; $

е) $ 5 \sin x + 3 \cos x = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $ \sin x - 2 \cos x = 0 $

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Для его решения разделим обе части уравнения на $ \cos x $. Это преобразование является равносильным, так как если предположить, что $ \cos x = 0 $, то из исходного уравнения следует, что $ \sin x = 0 $, что невозможно, поскольку $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

Разделив на $ \cos x $, получим:

$ \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{2 \cos x}{\cos x} = 0 $

$ \tan x - 2 = 0 $

$ \tan x = 2 $

Отсюда находим $ x $:

$ x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin x + 5 \cos x = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ \cos x $, так как $ \cos x \ne 0 $ (иначе $ \sin x $ тоже должен быть равен нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству).

$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{5 \cos x}{\cos x} = 0 $

$ \tan x + 5 = 0 $

$ \tan x = -5 $

Решение уравнения:

$ x = \arctan(-5) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Используя свойство нечетности арктангенса $ \arctan(-a) = -\arctan(a) $, можно записать ответ в виде:

$ x = -\arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\arctan(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

в) $ 2 \sin x - \cos x = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ \cos x \ne 0 $:

$ \frac{2 \sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $

$ 2 \tan x - 1 = 0 $

$ 2 \tan x = 1 $

$ \tan x = \frac{1}{2} $

Решение уравнения:

$ x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

г) $ 5 \sin x + \cos x = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ \cos x \ne 0 $:

$ \frac{5 \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $

$ 5 \tan x + 1 = 0 $

$ 5 \tan x = -1 $

$ \tan x = -\frac{1}{5} $

Решение уравнения:

$ x = \arctan(-\frac{1}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Или: $ x = -\arctan(\frac{1}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\arctan(\frac{1}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

д) $ 2 \sin x - 3 \cos x = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ \cos x \ne 0 $:

$ \frac{2 \sin x}{\cos x} - \frac{3 \cos x}{\cos x} = 0 $

$ 2 \tan x - 3 = 0 $

$ 2 \tan x = 3 $

$ \tan x = \frac{3}{2} $

Решение уравнения:

$ x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

е) $ 5 \sin x + 3 \cos x = 0 $

Разделим обе части уравнения на $ \cos x \ne 0 $:

$ \frac{5 \sin x}{\cos x} + \frac{3 \cos x}{\cos x} = 0 $

$ 5 \tan x + 3 = 0 $

$ 5 \tan x = -3 $

$ \tan x = -\frac{3}{5} $

Решение уравнения:

$ x = \arctan(-\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Или: $ x = -\arctan(\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\arctan(\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $