Номер 11.34, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.5*. Простейшие неравенства для синуса и косинуса - номер 11.34, страница 315.

Условие.

11.34 а) $\sin x > \frac{1}{2}$;

б) $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\sin x > -\frac{1}{2}$;

д) $\sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $\sin x < \frac{1}{2}$;

з) $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

и) $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

к) $\sin x < -\frac{1}{2}$;

л) $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

м) $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Решим неравенство $sin x > \frac{1}{2}$.
Для решения используем единичную окружность. Сначала найдем углы $x$, для которых $sin x = \frac{1}{2}$.
На единичной окружности этому значению синуса соответствуют две точки, ордината которых равна $\frac{1}{2}$. Углы, соответствующие этим точкам на промежутке $[0, 2\pi]$, равны $x_1 = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Неравенству $sin x > \frac{1}{2}$ удовлетворяют все точки на дуге единичной окружности, которые расположены выше прямой $y = \frac{1}{2}$. Эта дуга заключена между точками, соответствующими углам $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.
Учитывая периодичность функции синус (период равен $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга между точками $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга между точками $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $sin x > -\frac{1}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = -\frac{1}{2}$. Используя арксинус, получаем $x_1 = \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = -\frac{1}{2}$. Это дуга, идущая от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$ против часовой стрелки.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $x_1 = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим неравенство $sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $x_1 = \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{4\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

ж)

Решим неравенство $sin x < \frac{1}{2}$.
Корни уравнения $sin x = \frac{1}{2}$ равны $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{6}$.
Неравенству $sin x < \frac{1}{2}$ удовлетворяют точки единичной окружности, которые лежат ниже прямой $y = \frac{1}{2}$. Это дуга, идущая от точки $\frac{5\pi}{6}$ против часовой стрелки к точке $\frac{\pi}{6}$ на следующем обороте, то есть к $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.
Интервал решения на одном витке: $(\frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6})$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

з)

Решим неравенство $sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ равны $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{4}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

и)

Решим неравенство $sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ равны $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{2\pi}{3}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

к)

Решим неравенство $sin x < -\frac{1}{2}$.
Корни уравнения $sin x = -\frac{1}{2}$ равны $x_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{7\pi}{6}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$. Это дуга от $\frac{7\pi}{6}$ до $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

л)

Решим неравенство $sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ равны $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{4}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $\frac{5\pi}{4}$ до $-\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

м)

Решим неравенство $sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ равны $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{4\pi}{3}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга от $\frac{4\pi}{3}$ до $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.