Номер 11.34, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.5*. Простейшие неравенства для синуса и косинуса. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.34, страница 315.
№11.34 (с. 315)
Условие. №11.34 (с. 315)
скриншот условия

11.34 а) $\sin x > \frac{1}{2}$;
б) $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$;
в) $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;
г) $\sin x > -\frac{1}{2}$;
д) $\sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
е) $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
ж) $\sin x < \frac{1}{2}$;
з) $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;
и) $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$;
к) $\sin x < -\frac{1}{2}$;
л) $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
м) $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решение 1. №11.34 (с. 315)












Решение 2. №11.34 (с. 315)

Решение 3. №11.34 (с. 315)


Решение 4. №11.34 (с. 315)


Решение 5. №11.34 (с. 315)
а)
Решим неравенство $sin x > \frac{1}{2}$.
Для решения используем единичную окружность. Сначала найдем углы $x$, для которых $sin x = \frac{1}{2}$.
На единичной окружности этому значению синуса соответствуют две точки, ордината которых равна $\frac{1}{2}$. Углы, соответствующие этим точкам на промежутке $[0, 2\pi]$, равны $x_1 = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Неравенству $sin x > \frac{1}{2}$ удовлетворяют все точки на дуге единичной окружности, которые расположены выше прямой $y = \frac{1}{2}$. Эта дуга заключена между точками, соответствующими углам $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.
Учитывая периодичность функции синус (период равен $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б)
Решим неравенство $sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга между точками $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
в)
Решим неравенство $sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга между точками $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
г)
Решим неравенство $sin x > -\frac{1}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = -\frac{1}{2}$. Используя арксинус, получаем $x_1 = \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = -\frac{1}{2}$. Это дуга, идущая от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$ против часовой стрелки.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
д)
Решим неравенство $sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $x_1 = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
е)
Решим неравенство $sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $x_1 = \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{4\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
ж)
Решим неравенство $sin x < \frac{1}{2}$.
Корни уравнения $sin x = \frac{1}{2}$ равны $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{6}$.
Неравенству $sin x < \frac{1}{2}$ удовлетворяют точки единичной окружности, которые лежат ниже прямой $y = \frac{1}{2}$. Это дуга, идущая от точки $\frac{5\pi}{6}$ против часовой стрелки к точке $\frac{\pi}{6}$ на следующем обороте, то есть к $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.
Интервал решения на одном витке: $(\frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6})$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
з)
Решим неравенство $sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ равны $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{4}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
и)
Решим неравенство $sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ равны $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{2\pi}{3}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
к)
Решим неравенство $sin x < -\frac{1}{2}$.
Корни уравнения $sin x = -\frac{1}{2}$ равны $x_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{7\pi}{6}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$. Это дуга от $\frac{7\pi}{6}$ до $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
л)
Решим неравенство $sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ равны $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{4}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $\frac{5\pi}{4}$ до $-\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
м)
Решим неравенство $sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ равны $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{4\pi}{3}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга от $\frac{4\pi}{3}$ до $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.34 расположенного на странице 315 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.34 (с. 315), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.