Номер 11.39, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.6*. Простейшие неравенства для тангенса и котангенса. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.39, страница 318.

11.39 а) $tg x > 1;$

б) $tg x > \sqrt{3};$

в) $tg x > \frac{\sqrt{3}}{3};$

г) $tg x > -1;$

д) $tg x > -\sqrt{3};$

е) $tg x > -\frac{\sqrt{3}}{3};$

ж) $tg x < 1;$

з) $tg x < \sqrt{3};$

и) $tg x < \frac{\sqrt{3}}{3};$

к) $tg x < -1;$

л) $tg x < -\sqrt{3};$

м) $tg x < -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

а) Чтобы решить неравенство $\text{tg } x > 1$, найдем угол, тангенс которого равен 1. Это $x_0 = \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Функция $y = \text{tg } x$ возрастает на своем основном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Поэтому значения $x$, удовлетворяющие неравенству на этом промежутке, лежат в интервале от $\frac{\pi}{4}$ до правой границы области определения, то есть до $\frac{\pi}{2}$. Учитывая периодичность функции тангенса с периодом $\pi$, общее решение записывается как $ \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим неравенство $\text{tg } x > \sqrt{3}$. Значение арктангенса от $\sqrt{3}$ равно $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x > a$ - это интервал от $\text{arctg}(a)$ до $\frac{\pi}{2}$ с добавлением периода $\pi k$. Таким образом, получаем $ \frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим неравенство $\text{tg } x > \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение арктангенса от $\frac{\sqrt{3}}{3}$ равно $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$. По аналогии с предыдущими примерами, решение неравенства $\text{tg } x > a$ записывается как $\text{arctg}(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$. Следовательно, $ \frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ \frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим неравенство $\text{tg } x > -1$. Значение арктангенса от -1 равно $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$. Решение неравенства $\text{tg } x > a$ имеет вид $\text{arctg}(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$. Подставляя наше значение, получаем $ -\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

д) Решим неравенство $\text{tg } x > -\sqrt{3}$. Находим $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. Общее решение для $\text{tg } x > a$ - это $\text{arctg}(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$. Таким образом, решение $ -\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

е) Решим неравенство $\text{tg } x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Находим $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x > a$ задается формулой $\text{arctg}(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$. В данном случае, $ -\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

ж) Чтобы решить неравенство $\text{tg } x < 1$, найдем угол $x_0 = \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x < a$ на основном промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ - это интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до $\text{arctg}(a)$. Учитывая периодичность, общее решение будет $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. Таким образом, $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

з) Решим неравенство $\text{tg } x < \sqrt{3}$. Находим $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x < a$ задается формулой $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. Подставляя наше значение, получаем $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

и) Решим неравенство $\text{tg } x < \frac{\sqrt{3}}{3}$. Находим $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$. Общее решение для $\text{tg } x < a$ - это $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. Следовательно, $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

к) Решим неравенство $\text{tg } x < -1$. Находим $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x < a$ имеет вид $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. Подставляя значение, получаем $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

л) Решим неравенство $\text{tg } x < -\sqrt{3}$. Находим $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. Общее решение для $\text{tg } x < a$ - это $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. Таким образом, решение $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

м) Решим неравенство $\text{tg } x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Находим $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x < a$ задается формулой $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. В данном случае, $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.