Номер 11.43, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.7*. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.43, страница 321.
№11.43 (с. 321)
Условие. №11.43 (с. 321)
скриншот условия

Решите неравенство (11.43–11.47):
11.43
а) $\sin^2 x < \frac{1}{2}$;
б) $\cos^2 x < \frac{3}{4}$;
в) $\sin^2 x > \frac{3}{4}$;
г) $\cos^2 x > \frac{1}{2}$;
д) $\text{tg}^2 x < 1$;
е) $\text{tg}^2 x > 3$;
ж) $\text{ctg}^2 x > 1$;
з) $\text{ctg}^2 x < \frac{1}{3}$.
Решение 1. №11.43 (с. 321)








Решение 2. №11.43 (с. 321)

Решение 3. №11.43 (с. 321)


Решение 4. №11.43 (с. 321)



Решение 5. №11.43 (с. 321)
а)
Решим неравенство $\sin^2 x < \frac{1}{2}$.
Для решения этого неравенства воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
Подставим это выражение в исходное неравенство:
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} < \frac{1}{2}$
Умножим обе части на 2:
$1 - \cos(2x) < 1$
$-\cos(2x) < 0$
$\cos(2x) > 0$
Сделаем замену $t = 2x$. Получаем простое тригонометрическое неравенство $\cos t > 0$.
Решением этого неравенства являются интервалы, где косинус положителен, то есть $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = 2x$:
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти $x$:
$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б)
Решим неравенство $\cos^2 x < \frac{3}{4}$.
Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
Подставляем в неравенство:
$\frac{1 + \cos(2x)}{2} < \frac{3}{4}$
Умножим обе части на 4:
$2(1 + \cos(2x)) < 3$
$2 + 2\cos(2x) < 3$
$2\cos(2x) < 1$
$\cos(2x) < \frac{1}{2}$
Сделаем замену $t = 2x$, получим $\cos t < \frac{1}{2}$.
Решениями этого неравенства являются углы $t$, для которых $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Возвращаемся к переменной $x$:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$
Разделим все части на 2:
$\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
в)
Решим неравенство $\sin^2 x > \frac{3}{4}$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} > \frac{3}{4}$
Умножим обе части на 4:
$2(1 - \cos(2x)) > 3$
$2 - 2\cos(2x) > 3$
$-2\cos(2x) > 1$
$\cos(2x) < -\frac{1}{2}$
Сделаем замену $t = 2x$, получим $\cos t < -\frac{1}{2}$.
Решениями этого неравенства являются углы $t$, для которых $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Возвращаемся к переменной $x$:
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$
Разделим все части на 2:
$\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
г)
Решим неравенство $\cos^2 x > \frac{1}{2}$.
Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:
$\frac{1 + \cos(2x)}{2} > \frac{1}{2}$
$1 + \cos(2x) > 1$
$\cos(2x) > 0$
Это неравенство уже было решено в пункте а). Его решением является $-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
д)
Решим неравенство $\tg^2 x < 1$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-1 < \tg x < 1$.
Рассмотрим решение на одном периоде тангенса, интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Функция $\tg x$ возрастает на этом интервале.
$\tg x = 1$ при $x = \frac{\pi}{4}$.
$\tg x = -1$ при $x = -\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решение неравенства есть $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$.
Учитывая периодичность тангенса (период $\pi$), общее решение имеет вид:
$-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
е)
Решим неравенство $\tg^2 x > 3$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $\tg x > \sqrt{3}$ или $\tg x < -\sqrt{3}$.
Рассмотрим решение на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
1) $\tg x > \sqrt{3}$. Так как $\tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и тангенс возрастает, то $\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}$.
2) $\tg x < -\sqrt{3}$. Так как $\tg(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ и тангенс возрастает, то $-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{3}$.
Объединяя эти решения и добавляя период $\pi k$, получаем общее решение:
$\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k) \cup (-\frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{3} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
ж)
Решим неравенство $\ctg^2 x > 1$.
Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $\ctg x > 1$ или $\ctg x < -1$.
Рассмотрим решение на одном периоде котангенса, интервале $(0, \pi)$.
Функция $\ctg x$ убывает на этом интервале.
1) $\ctg x > 1$. Так как $\ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и котангенс убывает, то $0 < x < \frac{\pi}{4}$.
2) $\ctg x < -1$. Так как $\ctg(\frac{3\pi}{4}) = -1$ и котангенс убывает, то $\frac{3\pi}{4} < x < \pi$.
Объединяя эти решения и добавляя период $\pi k$, получаем общее решение:
$\pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$ и $\frac{3\pi}{4} + \pi k < x < \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k) \cup (\frac{3\pi}{4} + \pi k; \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.
з)
Решим неравенство $\ctg^2 x < \frac{1}{3}$.
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-\sqrt{\frac{1}{3}} < \ctg x < \sqrt{\frac{1}{3}}$, то есть $-\frac{\sqrt{3}}{3} < \ctg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Рассмотрим решение на интервале $(0, \pi)$.
Функция $\ctg x$ убывает на этом интервале.
$\ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ при $x = \frac{\pi}{3}$.
$\ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ при $x = \frac{2\pi}{3}$.
Так как котангенс является убывающей функцией, то решение неравенства на интервале $(0, \pi)$ есть $\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$.
Учитывая периодичность котангенса (период $\pi$), общее решение имеет вид:
$\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.43 расположенного на странице 321 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.43 (с. 321), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.