Номер 11.45, страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.7*. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного - номер 11.45, страница 322.

Условие.

11.45 a) $\sin^2 x + 2,5 \sin x + 1 < 0;$

б) $\sin^2 x - 3,5 \sin x - 2 > 0;$

в) $2 \cos^2 x - 3\sqrt{3} \cos x + 3 < 0;$

г) $2 \cos^2 x + 3\sqrt{3} \cos x + 3 > 0;$

д) $\operatorname{tg}^2 x - 3 \operatorname{tg} x - 4 < 0;$

e) $\operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x + 2 > 0;$

ж) $\operatorname{ctg}^2 x - 4 \operatorname{ctg} x + 3 < 0;$

з) $\operatorname{ctg}^2 x + 4 \operatorname{ctg} x + 3 > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $ \sin^2 x + 2,5 \sin x + 1 < 0 $

Это квадратное неравенство относительно $ \sin x $. Сделаем замену $ t = \sin x $, где $ -1 \le t \le 1 $.

Получаем неравенство: $ t^2 + 2,5t + 1 < 0 $. Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $ 2t^2 + 5t + 2 < 0 $.

Найдем корни квадратного уравнения $ 2t^2 + 5t + 2 = 0 $.

Дискриминант: $ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $.

Корни: $ t_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2 $; $ t_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -0,5 $.

Парабола $ y = 2t^2 + 5t + 2 $ ветвями вверх, поэтому неравенство $ 2t^2 + 5t + 2 < 0 $ выполняется между корнями: $ -2 < t < -0,5 $.

Возвращаемся к замене: $ -2 < \sin x < -0,5 $.

Учитывая, что $ -1 \le \sin x \le 1 $, получаем двойное неравенство: $ -1 \le \sin x < -0,5 $.

На тригонометрической окружности этому неравенству соответствует дуга, расположенная ниже прямой $ y = -0,5 $. Крайние точки этой дуги - $ -\frac{5\pi}{6} $ и $ -\frac{\pi}{6} $.

Следовательно, решение неравенства: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin^2 x - 3,5 \sin x - 2 > 0 $

Сделаем замену $ t = \sin x $, где $ -1 \le t \le 1 $.

Получаем неравенство: $ t^2 - 3,5t - 2 > 0 $. Умножим на 2: $ 2t^2 - 7t - 4 > 0 $.

Найдем корни уравнения $ 2t^2 - 7t - 4 = 0 $.

Дискриминант: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2 $.

Корни: $ t_1 = \frac{7 - 9}{4} = -0,5 $; $ t_2 = \frac{7 + 9}{4} = 4 $.

Парабола $ y = 2t^2 - 7t - 4 $ ветвями вверх, поэтому неравенство $ 2t^2 - 7t - 4 > 0 $ выполняется вне интервала между корнями: $ t < -0,5 $ или $ t > 4 $.

Возвращаемся к замене: $ \sin x < -0,5 $ или $ \sin x > 4 $.

Неравенство $ \sin x > 4 $ не имеет решений, так как $ -1 \le \sin x \le 1 $.

Решаем неравенство $ \sin x < -0,5 $. Учитывая область значений синуса, это эквивалентно $ -1 \le \sin x < -0,5 $.

Это неравенство было решено в пункте а). Решение: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

в) $ 2\cos^2 x - 3\sqrt{3}\cos x + 3 < 0 $

Сделаем замену $ t = \cos x $, где $ -1 \le t \le 1 $.

Получаем неравенство: $ 2t^2 - 3\sqrt{3}t + 3 < 0 $.

Найдем корни уравнения $ 2t^2 - 3\sqrt{3}t + 3 = 0 $.

Дискриминант: $ D = (-3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 27 - 24 = 3 $.

Корни: $ t_1 = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} $; $ t_2 = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} $.

Неравенство $ 2t^2 - 3\sqrt{3}t + 3 < 0 $ выполняется между корнями: $ \frac{\sqrt{3}}{2} < t < \sqrt{3} $.

Возвращаемся к замене: $ \frac{\sqrt{3}}{2} < \cos x < \sqrt{3} $.

Учитывая, что $ \cos x \le 1 $, получаем $ \frac{\sqrt{3}}{2} < \cos x \le 1 $.

На тригонометрической окружности этому неравенству соответствует дуга, расположенная правее прямой $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Крайние точки этой дуги - $ -\frac{\pi}{6} $ и $ \frac{\pi}{6} $.

Следовательно, решение: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

г) $ 2\cos^2 x + 3\sqrt{3}\cos x + 3 > 0 $

Сделаем замену $ t = \cos x $, где $ -1 \le t \le 1 $.

Получаем неравенство: $ 2t^2 + 3\sqrt{3}t + 3 > 0 $.

Найдем корни уравнения $ 2t^2 + 3\sqrt{3}t + 3 = 0 $.

Дискриминант: $ D = (3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 27 - 24 = 3 $.

Корни: $ t_1 = \frac{-3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3} $; $ t_2 = \frac{-3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Неравенство $ 2t^2 + 3\sqrt{3}t + 3 > 0 $ выполняется вне интервала между корнями: $ t < -\sqrt{3} $ или $ t > -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Возвращаемся к замене: $ \cos x < -\sqrt{3} $ или $ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Неравенство $ \cos x < -\sqrt{3} $ (приблизительно $ \cos x < -1,73 $) не имеет решений.

Решаем неравенство $ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Учитывая область значений косинуса, это $ -\frac{\sqrt{3}}{2} < \cos x \le 1 $.

На тригонометрической окружности этому неравенству соответствует дуга, расположенная правее прямой $ x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Крайние точки этой дуги - $ -\frac{5\pi}{6} $ и $ \frac{5\pi}{6} $.

Следовательно, решение: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

д) $ \operatorname{tg}^2 x - 3\operatorname{tg} x - 4 < 0 $

Сделаем замену $ t = \operatorname{tg} x $.

Получаем неравенство: $ t^2 - 3t - 4 < 0 $.

Найдем корни уравнения $ t^2 - 3t - 4 = 0 $. По теореме Виета, $ t_1 = -1 $, $ t_2 = 4 $.

Неравенство выполняется между корнями: $ -1 < t < 4 $.

Возвращаемся к замене: $ -1 < \operatorname{tg} x < 4 $.

Так как функция $ y = \operatorname{tg} x $ возрастающая на своем интервале определения $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, то решение на этом интервале: $ \operatorname{arctg}(-1) < x < \operatorname{arctg}(4) $, то есть $ -\frac{\pi}{4} < x < \operatorname{arctg}(4) $.

Учитывая периодичность тангенса (период $ \pi $), получаем общее решение: $ -\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \operatorname{arctg}(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{4} + \pi k; \operatorname{arctg}(4) + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

е) $ \operatorname{tg}^2 x + 3\operatorname{tg} x + 2 > 0 $

Сделаем замену $ t = \operatorname{tg} x $.

Получаем неравенство: $ t^2 + 3t + 2 > 0 $.

Найдем корни уравнения $ t^2 + 3t + 2 = 0 $. По теореме Виета, $ t_1 = -2 $, $ t_2 = -1 $.

Неравенство выполняется вне интервала между корнями: $ t < -2 $ или $ t > -1 $.

Возвращаемся к замене: $ \operatorname{tg} x < -2 $ или $ \operatorname{tg} x > -1 $.

Решим каждое неравенство отдельно на интервале $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $:

1) $ \operatorname{tg} x > -1 \implies \operatorname{arctg}(-1) < x < \frac{\pi}{2} \implies -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} $.

2) $ \operatorname{tg} x < -2 \implies -\frac{\pi}{2} < x < \operatorname{arctg}(-2) \implies -\frac{\pi}{2} < x < -\operatorname{arctg}(2) $.

Объединяя решения и добавляя период $ \pi k $, получаем: $ x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k; -\operatorname{arctg}(2) + \pi k) \cup (-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k; -\operatorname{arctg}(2) + \pi k) \cup (-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

ж) $ \operatorname{ctg}^2 x - 4\operatorname{ctg} x + 3 < 0 $

Сделаем замену $ t = \operatorname{ctg} x $.

Получаем неравенство: $ t^2 - 4t + 3 < 0 $.

Найдем корни уравнения $ t^2 - 4t + 3 = 0 $. По теореме Виета, $ t_1 = 1 $, $ t_2 = 3 $.

Неравенство выполняется между корнями: $ 1 < t < 3 $.

Возвращаемся к замене: $ 1 < \operatorname{ctg} x < 3 $.

Так как функция $ y = \operatorname{ctg} x $ убывающая на интервале $ (0; \pi) $, то знаки неравенства меняются: $ \operatorname{arcctg}(3) < x < \operatorname{arcctg}(1) $.

Так как $ \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4} $, получаем $ \operatorname{arcctg}(3) < x < \frac{\pi}{4} $.

Учитывая периодичность котангенса (период $ \pi $), получаем общее решение: $ \operatorname{arcctg}(3) + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\operatorname{arcctg}(3) + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

з) $ \operatorname{ctg}^2 x + 4\operatorname{ctg} x + 3 > 0 $

Сделаем замену $ t = \operatorname{ctg} x $.

Получаем неравенство: $ t^2 + 4t + 3 > 0 $.

Найдем корни уравнения $ t^2 + 4t + 3 = 0 $. По теореме Виета, $ t_1 = -3 $, $ t_2 = -1 $.

Неравенство выполняется вне интервала между корнями: $ t < -3 $ или $ t > -1 $.

Возвращаемся к замене: $ \operatorname{ctg} x < -3 $ или $ \operatorname{ctg} x > -1 $.

Решим каждое неравенство отдельно на интервале $ (0; \pi) $:

1) $ \operatorname{ctg} x > -1 $. Так как котангенс убывает, то $ 0 < x < \operatorname{arcctg}(-1) \implies 0 < x < \frac{3\pi}{4} $.

2) $ \operatorname{ctg} x < -3 $. Так как котангенс убывает, то $ \operatorname{arcctg}(-3) < x < \pi $. Можно записать $ \pi - \operatorname{arcctg}(3) < x < \pi $.

Объединяя решения и добавляя период $ \pi k $, получаем: $ x \in (\pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k) \cup (\pi - \operatorname{arcctg}(3) + \pi k; \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k) \cup (\pi - \operatorname{arcctg}(3) + \pi k; \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.