Номер 11.51, страница 326 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.8*. Введение вспомогательного угла. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.51, страница 326.

11.51* a) $2\sqrt{3} \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = \sqrt{3} - 1;$

б) $\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = 1;$

в) $(2 + \sqrt{3}) \sin^2 x - (3 + \sqrt{3}) \sin x \cos x + \cos^2 x = 0;$

г) $(1 + \sqrt{3}) \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x + (\sqrt{3} - 1)\cos^2 x = 0.$

а) $2\sqrt{3} \sin^2 x - 2 \sin x \cos x = \sqrt{3} - 1$

Это тригонометрическое уравнение. Для его решения воспользуемся формулами понижения степени и двойного угла:
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
$2 \sin x \cos x = \sin(2x)$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$2\sqrt{3} \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{2} - \sin(2x) = \sqrt{3} - 1$
$\sqrt{3}(1 - \cos(2x)) - \sin(2x) = \sqrt{3} - 1$
Раскроем скобки и упростим:
$\sqrt{3} - \sqrt{3} \cos(2x) - \sin(2x) = \sqrt{3} - 1$
$-\sqrt{3} \cos(2x) - \sin(2x) = -1$
$\sin(2x) + \sqrt{3} \cos(2x) = 1$
Получили уравнение вида $a \sin u + b \cos u = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$:
$\frac{1}{2} \sin(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(2x) = \frac{1}{2}$
Левую часть можно свернуть по формуле синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$, где $\cos \beta = \frac{1}{2}$ и $\sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $\beta = \frac{\pi}{3}$.
$\cos(\frac{\pi}{3})\sin(2x) + \sin(\frac{\pi}{3})\cos(2x) = \frac{1}{2}$
$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение, которое распадается на две серии решений:
1) $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$
2) $2x + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$2x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$2x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$, чтобы сделать уравнение однородным:
$\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
$\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$
$-\sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$
$\cos^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0$
Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:
$\cos x (\cos x + \sqrt{3} \sin x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 0$. Заметим, что в этой серии решений $\cos x \neq 0$, иначе $\sin x$ также должен быть равен нулю, что невозможно. Поэтому можно разделить уравнение на $\cos x$:
$1 + \sqrt{3} \tan x = 0$
$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

в) $(2 + \sqrt{3}) \sin^2 x - (3 + \sqrt{3}) \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем $(2 + \sqrt{3}) \cdot 1 - 0 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:
$(2 + \sqrt{3}) \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - (3 + \sqrt{3}) \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$(2 + \sqrt{3}) \tan^2 x - (3 + \sqrt{3}) \tan x + 1 = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$, получим квадратное уравнение:
$(2 + \sqrt{3}) t^2 - (3 + \sqrt{3}) t + 1 = 0$
Сумма коэффициентов этого уравнения $(2 + \sqrt{3}) - (3 + \sqrt{3}) + 1 = 2 + \sqrt{3} - 3 - \sqrt{3} + 1 = 0$. Значит, один из корней равен $t_1 = 1$.
Второй корень найдем по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a}$, т.е. $1 \cdot t_2 = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$.
$t_2 = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.
Вернемся к замене:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = 2 - \sqrt{3}$. Это табличное значение для $\tan(\frac{\pi}{12})$. Таким образом, $x = \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $(1 + \sqrt{3}) \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x + (\sqrt{3} - 1) \cos^2 x = 0$

Это также однородное уравнение второй степени. Как и в предыдущем пункте, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 x$:
$(1 + \sqrt{3}) \tan^2 x + 2\sqrt{3} \tan x + (\sqrt{3} - 1) = 0$
Сделаем замену $t = \tan x$:
$(1 + \sqrt{3}) t^2 + 2\sqrt{3} t + (\sqrt{3} - 1) = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (2\sqrt{3})^2 - 4(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1) = 12 - 4(\sqrt{3}^2 - 1^2) = 12 - 4(3 - 1) = 12 - 8 = 4$.
$\sqrt{D} = 2$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-2\sqrt{3} - 2}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{-2(\sqrt{3} + 1)}{2(1 + \sqrt{3})} = -1$.
$t_2 = \frac{-2\sqrt{3} + 2}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{2(1 - \sqrt{3})}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3} - 2$.
Вернемся к замене:
1) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = \sqrt{3} - 2 = -(2 - \sqrt{3})$. Поскольку $\tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}$, то $\tan x = -\tan(\frac{\pi}{12}) = \tan(-\frac{\pi}{12})$.
Отсюда $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.