Номер 11.58, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.9*. Замена неизвестного t=sinx+cosx. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.58, страница 330.

11.58* a) $ \sin^3 x + \cos^3 x = \sin 2x + 1 $;
б) $ \sin^3 x - \cos^3 x = \sin 2x - 1 $.

a) $\sin^3 x + \cos^3 x = \sin 2x + 1$

Преобразуем левую и правую части уравнения.Левая часть раскладывается по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x)$.
В правой части используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Уравнение принимает вид:
$(\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) = 2 \sin x \cos x + 1$.
Для решения введем замену. Пусть $t = \sin x + \cos x$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$.
Из этого равенства выразим произведение $\sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x = t^2 - 1$, откуда $\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$.
Заметим, что $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$, следовательно, область значений для $t$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Подставим замену в уравнение:
$t \left(1 - \frac{t^2 - 1}{2}\right) = (t^2 - 1) + 1$
$t \left(\frac{2 - (t^2 - 1)}{2}\right) = t^2$
$t \left(\frac{3 - t^2}{2}\right) = t^2$
$3t - t^3 = 2t^2$
$t^3 + 2t^2 - 3t = 0$
Вынесем $t$ за скобки: $t(t^2 + 2t - 3) = 0$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $t(t+3)(t-1) = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 0$, $t_2 = -3$, $t_3 = 1$.
Сравним корни с областью допустимых значений $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
$t_1 = 0$ — подходит.
$t_2 = -3$ — не подходит, так как $-3 < -\sqrt{2}$.
$t_3 = 1$ — подходит.
Выполним обратную замену для подходящих значений $t$.

1. Если $t=1$, то $\sin x + \cos x = 1$.
Применим метод введения вспомогательного угла, разделив обе части на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Отсюда $x+\frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Для четных $k=2n$: $x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Для нечетных $k=2n+1$: $x+\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $t=0$, то $\sin x + \cos x = 0$.
$\sin x = -\cos x$. Так как $\cos x \neq 0$ (иначе $\sin x = \pm 1$, что не удовлетворяет уравнению), разделим на $\cos x$:
$\tan x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin^3 x - \cos^3 x = \sin 2x - 1$

Преобразуем левую и правую части уравнения.Левая часть раскладывается по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$\sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x)$.
В правой части используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Уравнение принимает вид:
$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x) = 2 \sin x \cos x - 1$.
Для решения введем замену. Пусть $u = \sin x - \cos x$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат: $u^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x$.
Из этого равенства выразим произведение $\sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x = 1 - u^2$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1 - u^2}{2}$.
Заметим, что $u = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$, следовательно, область значений для $u$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Подставим замену в уравнение:
$u \left(1 + \frac{1 - u^2}{2}\right) = (1 - u^2) - 1$
$u \left(\frac{2 + 1 - u^2}{2}\right) = -u^2$
$u \left(\frac{3 - u^2}{2}\right) = -u^2$
$3u - u^3 = -2u^2$
$u^3 - 2u^2 - 3u = 0$
Вынесем $u$ за скобки: $u(u^2 - 2u - 3) = 0$.
Разложим квадратный трехчлен на множители: $u(u-3)(u+1) = 0$.
Корни этого уравнения: $u_1 = 0$, $u_2 = 3$, $u_3 = -1$.
Сравним корни с областью допустимых значений $u \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
$u_1 = 0$ — подходит.
$u_2 = 3$ — не подходит, так как $3 > \sqrt{2}$.
$u_3 = -1$ — подходит.
Выполним обратную замену для подходящих значений $u$.

1. Если $u=0$, то $\sin x - \cos x = 0$.
$\sin x = \cos x$. Так как $\cos x \neq 0$ (иначе $\sin x = \pm 1$, что не удовлетворяет уравнению), разделим на $\cos x$:
$\tan x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $u=-1$, то $\sin x - \cos x = -1$.
Применим метод введения вспомогательного угла, разделив обе части на $\sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$:$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(x-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Отсюда $x-\frac{\pi}{4} = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Для четных $k=2n$: $x-\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Для нечетных $k=2n+1$: $x-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n; 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.