Номер 11.57, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.9*. Замена неизвестного t=sinx+cosx. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.57, страница 330.

11.57 a) $\sin 2x + 3 \sin x + 3 \cos x = \frac{3}{4}$;

б) $\sin 2x - 3 \sin x - 3 \cos x = \frac{3}{4}$;

в) $\sin 2x + 5 \sin x + 5 \cos x = 1\frac{3}{4}$;

г) $\sin 2x - 5 \sin x - 5 \cos x = -3\frac{1}{4}$.

а) Преобразуем уравнение, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ и вынося общий множитель за скобки:
$ 2 \sin x \cos x + 3(\sin x + \cos x) = \frac{3}{4} $.
Введем замену $ t = \sin x + \cos x $. Возведем обе части в квадрат: $ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x $. Отсюда $ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $.
Подставляем в уравнение:
$ (t^2 - 1) + 3t = \frac{3}{4} $
$ t^2 + 3t - \frac{7}{4} = 0 $
$ 4t^2 + 12t - 7 = 0 $
Решаем квадратное уравнение: $ D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 144 + 112 = 256 = 16^2 $.
$ t_1 = \frac{-12 + 16}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $;
$ t_2 = \frac{-12 - 16}{8} = -\frac{28}{8} = -\frac{7}{2} $.
Область значений функции $ y = \sin x + \cos x $ есть отрезок $ [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] $.
Корень $ t_2 = -3.5 $ не входит в этот отрезок (так как $ -3.5 < -\sqrt{2} $), поэтому является посторонним.
Возвращаемся к замене с $ t_1 = \frac{1}{2} $:
$ \sin x + \cos x = \frac{1}{2} $.
Применяем метод вспомогательного угла: $ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} $.
$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.
$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Преобразуем уравнение: $ 2 \sin x \cos x - 3(\sin x + \cos x) = \frac{3}{4} $.
Введем замену $ t = \sin x + \cos x $, тогда $ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $.
Подставляем в уравнение:
$ (t^2 - 1) - 3t = \frac{3}{4} $
$ t^2 - 3t - \frac{7}{4} = 0 $
$ 4t^2 - 12t - 7 = 0 $
Решаем квадратное уравнение: $ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-7) = 144 + 112 = 256 = 16^2 $.
$ t_1 = \frac{12 + 16}{8} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} $;
$ t_2 = \frac{12 - 16}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2} $.
Область значений $ t $ это $ [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] $. Корень $ t_1 = 3.5 $ является посторонним.
Возвращаемся к замене с $ t_2 = -\frac{1}{2} $:
$ \sin x + \cos x = -\frac{1}{2} $.
$ \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} $.
$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} $.
$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Используя свойство $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $, получаем:
$ x + \frac{\pi}{4} = -(-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение: $ \sin 2x + 5 \sin x + 5 \cos x = 1\frac{3}{4} $.
Преобразуем правую часть: $ 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4} $.
$ 2 \sin x \cos x + 5(\sin x + \cos x) = \frac{7}{4} $.
Введем замену $ t = \sin x + \cos x $, тогда $ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $.
$ (t^2 - 1) + 5t = \frac{7}{4} $
$ t^2 + 5t - \frac{11}{4} = 0 $
$ 4t^2 + 20t - 11 = 0 $
Решаем квадратное уравнение: $ D = 20^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-11) = 400 + 176 = 576 = 24^2 $.
$ t_1 = \frac{-20 + 24}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $;
$ t_2 = \frac{-20 - 24}{8} = -\frac{44}{8} = -\frac{11}{2} $.
Корень $ t_2 = -5.5 $ является посторонним, так как не входит в отрезок $ [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] $.
Возвращаемся к замене с $ t_1 = \frac{1}{2} $:
$ \sin x + \cos x = \frac{1}{2} $.
Это уравнение совпадает с уравнением из пункта а), поэтому решение будет таким же:
$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Исходное уравнение: $ \sin 2x - 5 \sin x - 5 \cos x = -3\frac{1}{4} $.
Преобразуем правую часть: $ -3\frac{1}{4} = -\frac{13}{4} $.
$ 2 \sin x \cos x - 5(\sin x + \cos x) = -\frac{13}{4} $.
Введем замену $ t = \sin x + \cos x $, тогда $ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 $.
$ (t^2 - 1) - 5t = -\frac{13}{4} $
$ t^2 - 5t - 1 + \frac{13}{4} = 0 $
$ t^2 - 5t + \frac{9}{4} = 0 $
$ 4t^2 - 20t + 9 = 0 $
Решаем квадратное уравнение: $ D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 400 - 144 = 256 = 16^2 $.
$ t_1 = \frac{20 + 16}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} $;
$ t_2 = \frac{20 - 16}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $.
Корень $ t_1 = 4.5 $ является посторонним, так как не входит в отрезок $ [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] $.
Возвращаемся к замене с $ t_2 = \frac{1}{2} $:
$ \sin x + \cos x = \frac{1}{2} $.
Это уравнение также совпадает с уравнением из пункта а), поэтому решение будет таким же:
$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.