Номер 11.50, страница 326 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.8*. Введение вспомогательного угла. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.50, страница 326.

11.50* а) $4 \sin x - 5 \cos x = 2;$

В) $2 \sin x + 3 \cos x = 3;$

Д) $4 \sin x + 5 \cos x = -2;$

Ж) $2 \sin x - 3 \cos x = 0;$

б) $3 \sin x + 2 \cos x = 3;$

Г) $5 \sin x - 2 \cos x = 2;$

е) $3 \sin x - 2 \cos x = -3;$

З) $5 \sin x + 2 \cos x = 0.$

а) Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения $4 \sin x - 5 \cos x = 2$ на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
Получим: $\frac{4}{\sqrt{41}} \sin x - \frac{5}{\sqrt{41}} \cos x = \frac{2}{\sqrt{41}}$.
Введем вспомогательный угол $\varphi$, такой что $\cos \varphi = \frac{4}{\sqrt{41}}$ и $\sin \varphi = \frac{5}{\sqrt{41}}$. Такой угол существует, так как $(\frac{4}{\sqrt{41}})^2 + (\frac{5}{\sqrt{41}})^2 = 1$. Выразим угол как $\varphi = \arccos\frac{4}{\sqrt{41}}$.
Уравнение примет вид: $\cos \varphi \sin x - \sin \varphi \cos x = \frac{2}{\sqrt{41}}$.
По формуле синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, левая часть равна $\sin(x - \varphi)$.
$\sin(x - \varphi) = \frac{2}{\sqrt{41}}$.
Отсюда $x - \varphi = (-1)^k \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \varphi + (-1)^k \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k$.
Подставив значение $\varphi$, получаем окончательное решение.
Ответ: $x = \arccos\frac{4}{\sqrt{41}} + (-1)^k \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $3 \sin x + 2 \cos x = 3$ применим универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $t = \tan(x/2)$, тогда $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ и $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Эта подстановка требует проверки корней вида $x = \pi + 2\pi n$, при которых $\tan(x/2)$ не определен.
Подставляем в уравнение: $3 \cdot \frac{2t}{1+t^2} + 2 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = 3$.
Умножим обе части на $1+t^2 \neq 0$: $6t + 2(1-t^2) = 3(1+t^2)$.
$6t + 2 - 2t^2 = 3 + 3t^2 \implies 5t^2 - 6t + 1 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.
Корни: $t_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{10} = 1$, $t_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Выполним обратную замену:
1) $\tan(x/2) = 1 \implies x/2 = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan(x/2) = \frac{1}{5} \implies x/2 = \arctan\frac{1}{5} + \pi n \implies x = 2\arctan\frac{1}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверим $x = \pi + 2\pi n$: $3\sin(\pi) + 2\cos(\pi) = 3(0) + 2(-1) = -2 \neq 3$. Потерянных корней нет.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = 2\arctan\frac{1}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $2 \sin x + 3 \cos x = 3$ с помощью универсальной тригонометрической подстановки $t = \tan(x/2)$.
$2 \cdot \frac{2t}{1+t^2} + 3 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = 3 \implies 4t + 3(1-t^2) = 3(1+t^2)$.
$4t + 3 - 3t^2 = 3 + 3t^2 \implies 6t^2 - 4t = 0 \implies 2t(3t - 2) = 0$.
Корни: $t_1 = 0$ и $t_2 = \frac{2}{3}$.
Обратная замена:
1) $\tan(x/2) = 0 \implies x/2 = \pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan(x/2) = \frac{2}{3} \implies x/2 = \arctan\frac{2}{3} + \pi n \implies x = 2\arctan\frac{2}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка $x = \pi + 2\pi n$: $2\sin(\pi) + 3\cos(\pi) = 2(0) + 3(-1) = -3 \neq 3$. Потерянных корней нет.
Ответ: $x = 2\pi n, x = 2\arctan\frac{2}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $5 \sin x - 2 \cos x = 2$ с помощью универсальной тригонометрической подстановки $t = \tan(x/2)$.
$5 \cdot \frac{2t}{1+t^2} - 2 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = 2 \implies 10t - 2(1-t^2) = 2(1+t^2)$.
$10t - 2 + 2t^2 = 2 + 2t^2 \implies 10t = 4 \implies t = \frac{2}{5}$.
Обратная замена: $\tan(x/2) = \frac{2}{5} \implies x/2 = \arctan\frac{2}{5} + \pi n \implies x = 2\arctan\frac{2}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверим отдельно случай $x = \pi + 2\pi n$, так как для этих значений $\tan(x/2)$ не определен.
Подстановка в исходное уравнение: $5\sin(\pi + 2\pi n) - 2\cos(\pi + 2\pi n) = 5(0) - 2(-1) = 2$. Равенство $2=2$ верное, значит, $x = \pi + 2\pi n$ является второй серией решений.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, x = 2\arctan\frac{2}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Решим уравнение $4 \sin x + 5 \cos x = -2$ методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$.
$\frac{4}{\sqrt{41}} \sin x + \frac{5}{\sqrt{41}} \cos x = -\frac{2}{\sqrt{41}}$.
Введем угол $\varphi = \arccos\frac{4}{\sqrt{41}}$, тогда $\cos \varphi = \frac{4}{\sqrt{41}}$ и $\sin \varphi = \frac{5}{\sqrt{41}}$.
Уравнение принимает вид $\cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x = -\frac{2}{\sqrt{41}}$, что по формуле синуса суммы равно $\sin(x + \varphi) = -\frac{2}{\sqrt{41}}$.
$x + \varphi = (-1)^k \arcsin(-\frac{2}{\sqrt{41}}) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\varphi + (-1)^{k+1} \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k$.
Ответ: $x = -\arccos\frac{4}{\sqrt{41}} + (-1)^{k+1} \arcsin\frac{2}{\sqrt{41}} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Решим уравнение $3 \sin x - 2 \cos x = -3$ с помощью универсальной тригонометрической подстановки $t = \tan(x/2)$.
$3 \cdot \frac{2t}{1+t^2} - 2 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} = -3 \implies 6t - 2(1-t^2) = -3(1+t^2)$.
$6t - 2 + 2t^2 = -3 - 3t^2 \implies 5t^2 + 6t + 1 = 0$.
Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 16$.
Корни: $t_1 = \frac{-6+4}{10} = -\frac{1}{5}$, $t_2 = \frac{-6-4}{10} = -1$.
Обратная замена:
1) $\tan(x/2) = -1 \implies x/2 = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan(x/2) = -\frac{1}{5} \implies x/2 = \arctan(-\frac{1}{5}) + \pi n \implies x = -2\arctan\frac{1}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Проверка $x = \pi + 2\pi n$: $3\sin(\pi) - 2\cos(\pi) = 3(0) - 2(-1) = 2 \neq -3$. Потерянных корней нет.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = -2\arctan\frac{1}{5} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) Уравнение $2 \sin x - 3 \cos x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением первого порядка. Проверим, может ли $\cos x$ быть равен нулю. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $2(\pm 1) - 3(0) = \pm 2 \neq 0$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$.
$2\frac{\sin x}{\cos x} - 3\frac{\cos x}{\cos x} = 0 \implies 2\tan x - 3 = 0$.
$2\tan x = 3 \implies \tan x = \frac{3}{2}$.
Ответ: $x = \arctan\frac{3}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з) Уравнение $5 \sin x + 2 \cos x = 0$ также является однородным. Проверим, может ли $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставив в уравнение, получим $5(\pm 1) + 2(0) = \pm 5 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos x$.
$5\frac{\sin x}{\cos x} + 2\frac{\cos x}{\cos x} = 0 \implies 5\tan x + 2 = 0$.
$5\tan x = -2 \implies \tan x = -\frac{2}{5}$.
Ответ: $x = \arctan(-\frac{2}{5}) + \pi k$ или $x = -\arctan\frac{2}{5} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.