Страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (11.38–11.42):

11.38

а) $tg x > 0$;

б) $tg x < 0$;

в) $ctg x > 0$;

г) $ctg x < 0$.

а) Чтобы решить неравенство $\tg x > 0$, воспользуемся определением тангенса: $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробь положительна, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая:

1. $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$. Это соответствует I координатной четверти тригонометрического круга, то есть углам $x$ в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$.

2. $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$. Это соответствует III координатной четверти, то есть углам $x$ в интервале $(\pi; \frac{3\pi}{2})$.

Функция тангенса является периодической с периодом $\pi$. Объединяя полученные интервалы с учетом периода, получаем общее решение. Мы можем взять первый интервал $(0; \frac{\pi}{2})$ и добавить к его границам $\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Таким образом, решение неравенства: $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Чтобы решить неравенство $\tg x < 0$, снова обратимся к определению $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробь отрицательна, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Рассмотрим два случая:

1. $\sin x > 0$ и $\cos x < 0$. Это соответствует II координатной четверти, то есть углам $x$ в интервале $(\frac{\pi}{2}; \pi)$.

2. $\sin x < 0$ и $\cos x > 0$. Это соответствует IV координатной четверти, то есть углам $x$ в интервале $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.

Учитывая периодичность тангенса (период равен $\pi$), мы можем обобщить эти решения. Возьмем интервал $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ и добавим к его границам $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решение неравенства: $\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\ctg x > 0$. Определение котангенса: $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Неравенство $\ctg x > 0$ выполняется, когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют одинаковые знаки. Это те же условия, что и для неравенства $\tg x > 0$.

1. $\cos x > 0$ и $\sin x > 0$ (I четверть): $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

2. $\cos x < 0$ и $\sin x < 0$ (III четверть): $x \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$.

Функция котангенса имеет период $\pi$. Область определения котангенса: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Объединяя решения с учетом периодичности, получаем:

$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\ctg x < 0$. Согласно определению $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$, дробь будет отрицательной, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Это те же условия, что и для неравенства $\tg x < 0$.

1. $\cos x < 0$ и $\sin x > 0$ (II четверть): $x \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$.

2. $\cos x > 0$ и $\sin x < 0$ (IV четверть): $x \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.

Период функции котангенса равен $\pi$. Область определения котангенса: $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Обобщая полученные интервалы с учетом периода, получаем общее решение:

$\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

11.39 а) $tg x > 1;$

б) $tg x > \sqrt{3};$

в) $tg x > \frac{\sqrt{3}}{3};$

г) $tg x > -1;$

д) $tg x > -\sqrt{3};$

е) $tg x > -\frac{\sqrt{3}}{3};$

ж) $tg x < 1;$

з) $tg x < \sqrt{3};$

и) $tg x < \frac{\sqrt{3}}{3};$

к) $tg x < -1;$

л) $tg x < -\sqrt{3};$

м) $tg x < -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

а) Чтобы решить неравенство $\text{tg } x > 1$, найдем угол, тангенс которого равен 1. Это $x_0 = \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Функция $y = \text{tg } x$ возрастает на своем основном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Поэтому значения $x$, удовлетворяющие неравенству на этом промежутке, лежат в интервале от $\frac{\pi}{4}$ до правой границы области определения, то есть до $\frac{\pi}{2}$. Учитывая периодичность функции тангенса с периодом $\pi$, общее решение записывается как $ \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим неравенство $\text{tg } x > \sqrt{3}$. Значение арктангенса от $\sqrt{3}$ равно $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x > a$ - это интервал от $\text{arctg}(a)$ до $\frac{\pi}{2}$ с добавлением периода $\pi k$. Таким образом, получаем $ \frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Решим неравенство $\text{tg } x > \frac{\sqrt{3}}{3}$. Значение арктангенса от $\frac{\sqrt{3}}{3}$ равно $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$. По аналогии с предыдущими примерами, решение неравенства $\text{tg } x > a$ записывается как $\text{arctg}(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$. Следовательно, $ \frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ \frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Решим неравенство $\text{tg } x > -1$. Значение арктангенса от -1 равно $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$. Решение неравенства $\text{tg } x > a$ имеет вид $\text{arctg}(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$. Подставляя наше значение, получаем $ -\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

д) Решим неравенство $\text{tg } x > -\sqrt{3}$. Находим $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. Общее решение для $\text{tg } x > a$ - это $\text{arctg}(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$. Таким образом, решение $ -\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{3} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

е) Решим неравенство $\text{tg } x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Находим $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x > a$ задается формулой $\text{arctg}(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$. В данном случае, $ -\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

ж) Чтобы решить неравенство $\text{tg } x < 1$, найдем угол $x_0 = \text{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x < a$ на основном промежутке $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ - это интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до $\text{arctg}(a)$. Учитывая периодичность, общее решение будет $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. Таким образом, $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

з) Решим неравенство $\text{tg } x < \sqrt{3}$. Находим $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x < a$ задается формулой $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. Подставляя наше значение, получаем $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

и) Решим неравенство $\text{tg } x < \frac{\sqrt{3}}{3}$. Находим $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$. Общее решение для $\text{tg } x < a$ - это $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. Следовательно, $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

к) Решим неравенство $\text{tg } x < -1$. Находим $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x < a$ имеет вид $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. Подставляя значение, получаем $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

л) Решим неравенство $\text{tg } x < -\sqrt{3}$. Находим $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$. Общее решение для $\text{tg } x < a$ - это $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. Таким образом, решение $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

м) Решим неравенство $\text{tg } x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Находим $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$. Решение неравенства вида $\text{tg } x < a$ задается формулой $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \text{arctg}(a) + \pi k$. В данном случае, $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k$ - любое целое число.
Ответ: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

11.40 a) $\tg x > 2$;

б) $\tg x > -3$;

в) $\tg x > -0.5$;

г) $\tg x < -2$;

д) $\tg x < -3$;

е) $\tg x > 0.5$.

а)

Для решения неравенства $tg x > 2$ воспользуемся свойствами функции тангенс. Функция $y = tg x$ является периодической с периодом $\pi$ и строго возрастающей на каждом из интервалов своего определения, имеющих вид $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Общее решение неравенства вида $tg x > a$ находится путем определения интервала на основной области $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где выполняется условие, и последующего добавления периода. На этом интервале значения $x$, для которых $tg x > a$, лежат между $arctg(a)$ и асимптотой $\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, общее решение неравенства $tg x > a$ имеет вид: $arctg(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = 2$. Подставив это значение в общую формулу, получаем решение:

$arctg(2) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $arctg(2) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $tg x > -3$.

Используем общую формулу для решения неравенств вида $tg x > a$: $arctg(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для данного случая $a = -3$. Подставляем это значение:

$arctg(-3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Так как арктангенс является нечетной функцией, $arctg(-3) = -arctg(3)$. Поэтому решение можно записать в виде:

$-arctg(3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-arctg(3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $tg x > -0,5$.

Применяем общую формулу для неравенств $tg x > a$: $arctg(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -0,5$. Подставляя, получаем:

$arctg(-0,5) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Учитывая нечетность арктангенса, имеем $arctg(-0,5) = -arctg(0,5)$:

$-arctg(0,5) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-arctg(0,5) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $tg x < -2$.

Общее решение неравенства вида $tg x < a$ находится аналогично предыдущим случаям. На основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ значения $x$, для которых $tg x < a$, лежат между левой асимптотой $-\frac{\pi}{2}$ и значением $arctg(a)$.

Таким образом, общее решение неравенства $tg x < a$ имеет вид: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < arctg(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -2$. Подставляя это значение в общую формулу, получаем:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < arctg(-2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Так как арктангенс — нечетная функция, $arctg(-2) = -arctg(2)$. Решение можно переписать:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -arctg(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -arctg(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $tg x < -3$.

Используем общую формулу для решения неравенств вида $tg x < a$: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < arctg(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -3$. Подставляем это значение:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < arctg(-3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арктангенса ($arctg(-x) = -arctg(x)$), получаем:

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -arctg(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -arctg(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим неравенство $tg x > 0,5$.

Применяем общую формулу для неравенств $tg x > a$: $arctg(a) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = 0,5$. Подставляя, получаем:

$arctg(0,5) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $arctg(0,5) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

11.41 а) $ctg x > 1$;

б) $ctg x > \sqrt{3}$;

в) $ctg x > \frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $ctg x > -1$;

д) $ctg x > -\sqrt{3}$;

е) $ctg x > -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

ж) $ctg x < 1$;

з) $ctg x < \sqrt{3}$;

и) $ctg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$;

к) $ctg x < -1$;

л) $ctg x < -\sqrt{3}$;

м) $ctg x < -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) $ctg(x) > 1$

Решением неравенства вида $ctg(x) > a$ является интервал $(\pi n; arcctg(a) + \pi n)$, где $n \in Z$. Функция $ctg(x)$ определена при $x \neq \pi n$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляя это значение в общую формулу решения, получаем:

$\pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n), n \in Z$.

б) $ctg(x) > \sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) > a$: $(\pi n; arcctg(a) + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляя, получаем: $\pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n), n \in Z$.

в) $ctg(x) > \frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) > a$: $(\pi n; arcctg(a) + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляя, получаем: $\pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n), n \in Z$.

г) $ctg(x) > -1$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) > a$: $(\pi n; arcctg(a) + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляя, получаем: $\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n), n \in Z$.

д) $ctg(x) > -\sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) > a$: $(\pi n; arcctg(a) + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляя, получаем: $\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n), n \in Z$.

е) $ctg(x) > -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) > a$: $(\pi n; arcctg(a) + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляя, получаем: $\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n), n \in Z$.

ж) $ctg(x) < 1$

Решением неравенства вида $ctg(x) < a$ является интервал $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n)$, где $n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляя это значение в общую формулу решения, получаем:

$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

з) $ctg(x) < \sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) < a$: $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляя, получаем: $\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

и) $ctg(x) < \frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) < a$: $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляя, получаем: $\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

к) $ctg(x) < -1$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) < a$: $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляя, получаем: $\frac{3\pi}{4} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{3\pi}{4} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

л) $ctg(x) < -\sqrt{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) < a$: $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляя, получаем: $\frac{5\pi}{6} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{5\pi}{6} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

м) $ctg(x) < -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Используем общую формулу для решения неравенства $ctg(x) < a$: $(arcctg(a) + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.

Найдем значение арккотангенса: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляя, получаем: $\frac{2\pi}{3} + \pi n < x < \pi + \pi n, n \in Z$.

Ответ: $(\frac{2\pi}{3} + \pi n; \pi + \pi n), n \in Z$.