Страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.32 Какие неравенства называют простейшими тригонометрическими неравенствами?

Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства, в которых одна из четырех основных тригонометрических функций ($ \sin x $, $ \cos x $, $ \tan x $, $ \cot x $) от неизвестного аргумента $ x $ сравнивается с некоторым действительным числом $ a $.

Эти неравенства имеют следующий общий вид, где в качестве знака сравнения может выступать любой из знаков $ > $, $ < $, $ \geq $, $ \leq $:

• $ \sin(x) > a $
• $ \cos(x) < a $
• $ \tan(x) \geq a $
• $ \cot(x) \leq a $

Ключевые характеристики простейших тригонометрических неравенств:

1. Переменная содержится только в аргументе тригонометрической функции.
2. В неравенстве присутствует только одна тригонометрическая функция.
3. Эта функция сравнивается с константой (числом).

Решение любого более сложного тригонометрического неравенства обычно сводится к решению одного или нескольких простейших с помощью различных преобразований и замен. Решение самих простейших неравенств находят, как правило, с помощью тригонометрической окружности или графика соответствующей функции, а ответ записывают в виде бесконечного множества интервалов с учетом периодичности функции.

Ответ: Простейшими тригонометрическими неравенствами называют неравенства вида $ T(x) \diamond a $, где $ T(x) $ — это одна из функций $ \sin x $, $ \cos x $, $ \tan x $ или $ \cot x $, $ a $ — заданное число, а $ \diamond $ — один из знаков неравенства ($ > $, $ < $, $ \geq $, $ \leq $).

Решите неравенство (11.33–11.37):

11.33

a) $ \sin x > 0 $;

б) $ \sin x < 0 $;

в) $ \cos x > 0 $;

г) $ \cos x < 0 $.

а) Для решения неравенства $ \sin x > 0 $ воспользуемся единичной тригонометрической окружностью. Значение $ \sin x $ соответствует ординате (координате y) точки на окружности, отвечающей углу $ x $. Неравенство $ \sin x > 0 $ выполняется, когда эта точка находится в верхней полуплоскости, то есть в I или II координатной четверти.

Граничные точки, в которых $ \sin x = 0 $, соответствуют углам $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. На одном обороте окружности (промежуток $[0, 2\pi)$) это углы $x=0$ и $x=\pi$. Следовательно, интервал, удовлетворяющий неравенству на одном обороте, — это $ (0, \pi) $.

Поскольку функция синуса имеет период $ 2\pi $, общее решение получается добавлением $ 2\pi n $ к границам найденного интервала, где $ n $ — любое целое число. Таким образом, получаем двойное неравенство: $ 0 + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n $.

Ответ: $ x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

б) Для решения неравенства $ \sin x < 0 $ снова обратимся к единичной тригонометрической окружности. Неравенство выполняется для углов, которым соответствуют точки с отрицательной ординатой (координатой y). Эти точки расположены в нижней полуплоскости, то есть в III и IV координатных четвертях.

Граничные точки, где $ \sin x = 0 $, это $ x = \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $. На одном обороте окружности (промежуток $[0, 2\pi)$) это углы $x=\pi$ и $x=2\pi$. Таким образом, основной интервал, удовлетворяющий неравенству, — это $ (\pi, 2\pi) $.

С учетом периодичности функции синуса ($ T=2\pi $), общее решение неравенства имеет вид: $ \pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

в) Для решения неравенства $ \cos x > 0 $ рассмотрим единичную тригонометрическую окружность. Значение $ \cos x $ соответствует абсциссе (координате x) точки на окружности. Неравенство $ \cos x > 0 $ выполняется для точек с положительной абсциссой. Эти точки расположены в правой полуплоскости, то есть в I и IV координатных четвертях.

Граничные точки, где $ \cos x = 0 $, это $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $. Удобно выбрать непрерывный интервал, соответствующий правой полуплоскости, — это $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Функция косинуса периодична с периодом $ 2\pi $. Добавляя $ 2\pi n $ к границам основного интервала, получаем общее решение: $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

г) Для решения неравенства $ \cos x < 0 $ используем единичную тригонометрическую окружность. Нам нужны углы, для которых абсцисса (координата x) соответствующей точки на окружности отрицательна. Эти точки расположены в левой полуплоскости, то есть во II и III координатных четвертях.

Граничные точки, где $ \cos x = 0 $, это $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $. На одном обороте окружности (промежуток $[0, 2\pi)$) это углы $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{3\pi}{2}$. Таким образом, основной интервал, удовлетворяющий неравенству, — это $ (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) $.

Учитывая период функции косинуса, равный $ 2\pi $, общее решение неравенства записывается в виде: $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

11.34 а) $\sin x > \frac{1}{2}$;

б) $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\sin x > -\frac{1}{2}$;

д) $\sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $\sin x < \frac{1}{2}$;

з) $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

и) $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

к) $\sin x < -\frac{1}{2}$;

л) $\sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

м) $\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а)

Решим неравенство $sin x > \frac{1}{2}$.
Для решения используем единичную окружность. Сначала найдем углы $x$, для которых $sin x = \frac{1}{2}$.
На единичной окружности этому значению синуса соответствуют две точки, ордината которых равна $\frac{1}{2}$. Углы, соответствующие этим точкам на промежутке $[0, 2\pi]$, равны $x_1 = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Неравенству $sin x > \frac{1}{2}$ удовлетворяют все точки на дуге единичной окружности, которые расположены выше прямой $y = \frac{1}{2}$. Эта дуга заключена между точками, соответствующими углам $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.
Учитывая периодичность функции синус (период равен $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга между точками $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга между точками $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $sin x > -\frac{1}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = -\frac{1}{2}$. Используя арксинус, получаем $x_1 = \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = -\frac{1}{2}$. Это дуга, идущая от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$ против часовой стрелки.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $x_1 = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим неравенство $sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $x_1 = \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$.
Решением неравенства являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат выше прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{4\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

ж)

Решим неравенство $sin x < \frac{1}{2}$.
Корни уравнения $sin x = \frac{1}{2}$ равны $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{6}$.
Неравенству $sin x < \frac{1}{2}$ удовлетворяют точки единичной окружности, которые лежат ниже прямой $y = \frac{1}{2}$. Это дуга, идущая от точки $\frac{5\pi}{6}$ против часовой стрелки к точке $\frac{\pi}{6}$ на следующем обороте, то есть к $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.
Интервал решения на одном витке: $(\frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6})$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

з)

Решим неравенство $sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ равны $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{4}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

и)

Решим неравенство $sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ равны $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{2\pi}{3}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

к)

Решим неравенство $sin x < -\frac{1}{2}$.
Корни уравнения $sin x = -\frac{1}{2}$ равны $x_1 = -\frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{7\pi}{6}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$. Это дуга от $\frac{7\pi}{6}$ до $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{7\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

л)

Решим неравенство $sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ равны $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{4}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $\frac{5\pi}{4}$ до $-\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

м)

Решим неравенство $sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни уравнения $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ равны $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \frac{4\pi}{3}$.
Решением являются углы, для которых точки на единичной окружности лежат ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга от $\frac{4\pi}{3}$ до $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.
Общее решение с учетом периодичности:
$\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

11.35 a) $ \sin x > \frac{2}{3} $;

б) $ \sin x > -\frac{2}{3} $;

в) $ \sin x > -0,4 $;

г) $ \sin x < \frac{2}{3} $;

д) $ \sin x < -\frac{2}{3} $;

е) $ \sin x < 0,4 $.

а) Для решения неравенства $\sin x > \frac{2}{3}$ рассмотрим единичную окружность. Сначала найдем углы, для которых $\sin x = \frac{2}{3}$. Этими углами являются $x_1 = \arcsin(\frac{2}{3})$ (в первой четверти) и $x_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{3})$ (во второй четверти). Неравенству $\sin x > \frac{2}{3}$ соответствуют точки на единичной окружности, ордината которых больше $\frac{2}{3}$. Эти точки образуют дугу, заключенную между точками, соответствующими углам $x_1$ и $x_2$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки от $x_1$ к $x_2$, получаем интервал $(\arcsin(\frac{2}{3}); \pi - \arcsin(\frac{2}{3}))$. Учитывая периодичность синуса (период $2\pi$), общее решение неравенства имеет вид:
Ответ: $\arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k < x < \pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\sin x > -\frac{2}{3}$. Найдем углы, для которых $\sin x = -\frac{2}{3}$. Это $x_1 = \arcsin(-\frac{2}{3}) = -\arcsin(\frac{2}{3})$ (в четвертой четверти) и $x_2 = \pi - \arcsin(-\frac{2}{3}) = \pi + \arcsin(\frac{2}{3})$ (в третьей четверти). Нам нужны точки на единичной окружности, ордината которых больше $-\frac{2}{3}$. Эти точки образуют большую дугу, которая начинается от угла $x_1$ и идет против часовой стрелки до угла $x_2$. Таким образом, решение для одного периода: $-\arcsin(\frac{2}{3}) < x < \pi + \arcsin(\frac{2}{3})$. Общее решение с учетом периода:
Ответ: $-\arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k < x < \pi + \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Неравенство $\sin x > -0,4$ решается аналогично предыдущему. Граничные точки находятся из уравнения $\sin x = -0,4$. Это $x_1 = \arcsin(-0,4) = -\arcsin(0,4)$ и $x_2 = \pi - \arcsin(-0,4) = \pi + \arcsin(0,4)$. Неравенству удовлетворяют точки на единичной окружности, лежащие выше прямой $y = -0,4$. Это соответствует интервалу от $x_1$ до $x_2$ при движении против часовой стрелки. Общее решение:
Ответ: $-\arcsin(0,4) + 2\pi k < x < \pi + \arcsin(0,4) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения неравенства $\sin x < \frac{2}{3}$ снова обратимся к единичной окружности. Граничные точки, где $\sin x = \frac{2}{3}$, это $x_1 = \arcsin(\frac{2}{3})$ и $x_2 = \pi - \arcsin(\frac{2}{3})$. Нам нужны точки, ордината которых меньше $\frac{2}{3}$. Это большая дуга, идущая от точки $x_2$ против часовой стрелки к точке $x_1$ следующего оборота. Интервал для одного периода можно записать как $(\pi - \arcsin(\frac{2}{3}); 2\pi + \arcsin(\frac{2}{3}))$. Добавляя период $2\pi k$, получаем общее решение:
Ответ: $\pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k < x < 2\pi + \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) Решим неравенство $\sin x < -\frac{2}{3}$. Граничные точки, где $\sin x = -\frac{2}{3}$, находятся в третьей и четвертой четвертях. Угол в третьей четверти равен $\pi + \arcsin(\frac{2}{3})$, а угол в четвертой четверти можно представить как $2\pi - \arcsin(\frac{2}{3})$. Неравенству $\sin x < -\frac{2}{3}$ соответствуют точки на единичной окружности, лежащие ниже прямой $y = -\frac{2}{3}$. Это дуга, заключенная между углами $\pi + \arcsin(\frac{2}{3})$ и $2\pi - \arcsin(\frac{2}{3})$. Таким образом, общее решение:
Ответ: $\pi + \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k < x < 2\pi - \arcsin(\frac{2}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Неравенство $\sin x < 0,4$ решается аналогично пункту г). Граничные точки для $\sin x = 0,4$ это $x_1 = \arcsin(0,4)$ и $x_2 = \pi - \arcsin(0,4)$. Нам нужны точки на единичной окружности, лежащие ниже прямой $y = 0,4$. Это соответствует большой дуге, идущей от $x_2$ к $x_1$ следующего оборота. Таким образом, общее решение имеет вид:
Ответ: $\pi - \arcsin(0,4) + 2\pi k < x < 2\pi + \arcsin(0,4) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

11.36 а) $\cos x > \frac{1}{2}$;

б) $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $\cos x > -\frac{1}{2}$;

д) $\cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $\cos x < \frac{1}{2}$;

з) $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

и) $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

к) $\cos x < -\frac{1}{2}$;

л) $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

м) $\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) $cos x > \frac{1}{2}$

Чтобы решить данное тригонометрическое неравенство, воспользуемся единичной окружностью. Косинус угла соответствует абсциссе (координате по оси x) точки на этой окружности. Сначала найдем углы, для которых $cos x = \frac{1}{2}$. Это углы $x = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\arccos(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{3}$. Нам нужны значения $x$, при которых абсцисса точки на окружности больше, чем $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной правее вертикальной прямой $x = \frac{1}{2}$. Эта дуга заключена между точками, соответствующими углам $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$. Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение записывается как совокупность интервалов.

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем неравенство с помощью единичной окружности. Находим углы, для которых $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это углы $x = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$. Неравенству $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки образуют дугу, заключенную между углами $-\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4}$. С учетом периода функции косинус, равного $2\pi$, получаем общее решение.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$

На единичной окружности найдем точки, для которых $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это углы $x = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$. Нам нужны значения $x$, для которых абсцисса на единичной окружности строго больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга, расположенная между углами $-\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$. Добавляем к границам интервала период $2\pi k$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $cos x > -\frac{1}{2}$

Находим углы, для которых $cos x = -\frac{1}{2}$. Это углы $x = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3}$. Решению неравенства $cos x > -\frac{1}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых больше $-\frac{1}{2}$. Это большая дуга, заключенная между углами $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$. Общее решение получается добавлением периода $2\pi k$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

д) $cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Находим углы, для которых $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это углы $x = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$ и $x = -\frac{3\pi}{4}$. Неравенству $cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют точки на дуге единичной окружности, расположенной правее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта дуга соответствует углам от $-\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$. Записываем общее решение с учетом периода.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

е) $cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Находим углы, для которых $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это углы $x = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$ и $x = -\frac{5\pi}{6}$. Решением неравенства являются углы, для которых абсцисса на единичной окружности больше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга между углами $-\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Записываем общее решение.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

ж) $cos x < \frac{1}{2}$

Это неравенство является противоположным неравенству из пункта а). Граничные точки те же: $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{3}$ (или $x = \frac{5\pi}{3}$). Нам нужны значения $x$, при которых абсцисса точки на окружности меньше, чем $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, расположенной левее прямой $x = \frac{1}{2}$. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $\frac{\pi}{3}$ и заканчивается в точке $\frac{5\pi}{3}$. Добавляем период $2\pi k$.

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

з) $cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Граничные углы, где $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$ (или $x = \frac{7\pi}{4}$). Неравенству $cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{7\pi}{4}$ при обходе против часовой стрелки. Записываем общее решение.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

и) $cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Граничные углы, где $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$ (или $x = \frac{11\pi}{6}$). Нам нужны точки, где абсцисса меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. На единичной окружности это соответствует дуге от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{11\pi}{6}$. Записываем общее решение с учетом периода.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

к) $cos x < -\frac{1}{2}$

Граничные углы, где $cos x = -\frac{1}{2}$, равны $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$. Неравенству $cos x < -\frac{1}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $-\frac{1}{2}$. Эта дуга заключена между углами $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Общее решение получается добавлением периода $2\pi k$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

л) $cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Граничные углы, где $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, равны $x = \frac{3\pi}{4}$ и $x = \frac{5\pi}{4}$. Решению неравенства соответствуют точки на дуге единичной окружности, расположенной левее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эта дуга соответствует углам от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$. Записываем общее решение с учетом периода.

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

м) $cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Граничные углы, где $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $x = \frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$. Решением неравенства являются углы, для которых абсцисса на единичной окружности меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга между углами $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{7\pi}{6}$. Записываем общее решение.

Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

11.37 a) $ \cos x > \frac{3}{4}; $

б) $ \cos x > -\frac{3}{4}; $

в) $ \cos x > -0,7; $

г) $ \cos x < \frac{3}{4}; $

д) $ \cos x < -\frac{3}{4}; $

е) $ \cos x < 0,7. $

а)

Для решения неравенства $cos x > \frac{3}{4}$ воспользуемся единичной окружностью. Решениями являются углы, для которых абсцисса (косинус) соответствующей точки на окружности больше $\frac{3}{4}$. Эти точки образуют дугу, расположенную правее вертикальной прямой, проходящей через $x = \frac{3}{4}$.
Граничные точки этой дуги находятся как решения уравнения $cos x = \frac{3}{4}$. На основном промежутке $[-\pi, \pi]$ это углы $x_1 = \arccos(\frac{3}{4})$ и $x_2 = -\arccos(\frac{3}{4})$.
Таким образом, искомый интервал на одном обороте: $-\arccos(\frac{3}{4}) < x < \arccos(\frac{3}{4})$.
Учитывая периодичность функции косинуса ($2\pi$), общее решение имеет вид:
$-\arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k < x < \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k; \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим неравенство $cos x > -\frac{3}{4}$. Аналогично пункту а), ищем точки на единичной окружности, абсциссы которых больше $-\frac{3}{4}$.
Граничные точки дуги определяются уравнением $cos x = -\frac{3}{4}$, что дает углы $x_1 = \arccos(-\frac{3}{4})$ и $x_2 = -\arccos(-\frac{3}{4})$.
Решение на одном обороте: $-\arccos(-\frac{3}{4}) < x < \arccos(-\frac{3}{4})$.
Общее решение с учетом периодичности:
$-\arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k < x < \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k; \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим неравенство $cos x > -0,7$. Решение полностью аналогично предыдущему пункту.
Граничные точки: $x_1 = \arccos(-0,7)$ и $x_2 = -\arccos(-0,7)$.
Общее решение:
$-\arccos(-0,7) + 2\pi k < x < \arccos(-0,7) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\arccos(-0,7) + 2\pi k; \arccos(-0,7) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим неравенство $cos x < \frac{3}{4}$. На единичной окружности искомые точки лежат левее вертикальной прямой $x = \frac{3}{4}$.
Граничные точки дуги: $x_1 = \arccos(\frac{3}{4})$ и $x_2 = -\arccos(\frac{3}{4})$.
На промежутке $[0, 2\pi]$ решением является интервал, начинающийся в точке $\arccos(\frac{3}{4})$ и заканчивающийся в точке $2\pi - \arccos(\frac{3}{4})$ (при движении против часовой стрелки).
Общее решение с учетом периодичности:
$\arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k; 2\pi - \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим неравенство $cos x < -\frac{3}{4}$. Искомые точки на единичной окружности лежат левее прямой $x = -\frac{3}{4}$.
Граничные точки: $x_1 = \arccos(-\frac{3}{4})$ и $x_2 = 2\pi - \arccos(-\frac{3}{4})$.
Общее решение:
$\arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k; 2\pi - \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим неравенство $cos x < 0,7$. Решение аналогично пункту г).
Граничные точки: $x_1 = \arccos(0,7)$ и $x_2 = 2\pi - \arccos(0,7)$.
Общее решение:
$\arccos(0,7) + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos(0,7) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\arccos(0,7) + 2\pi k; 2\pi - \arccos(0,7) + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.