Номер 11.33, страница 315 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.5*. Простейшие неравенства для синуса и косинуса. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.33, страница 315.

Решите неравенство (11.33–11.37):

11.33

a) $ \sin x > 0 $;

б) $ \sin x < 0 $;

в) $ \cos x > 0 $;

г) $ \cos x < 0 $.

а) Для решения неравенства $ \sin x > 0 $ воспользуемся единичной тригонометрической окружностью. Значение $ \sin x $ соответствует ординате (координате y) точки на окружности, отвечающей углу $ x $. Неравенство $ \sin x > 0 $ выполняется, когда эта точка находится в верхней полуплоскости, то есть в I или II координатной четверти.

Граничные точки, в которых $ \sin x = 0 $, соответствуют углам $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. На одном обороте окружности (промежуток $[0, 2\pi)$) это углы $x=0$ и $x=\pi$. Следовательно, интервал, удовлетворяющий неравенству на одном обороте, — это $ (0, \pi) $.

Поскольку функция синуса имеет период $ 2\pi $, общее решение получается добавлением $ 2\pi n $ к границам найденного интервала, где $ n $ — любое целое число. Таким образом, получаем двойное неравенство: $ 0 + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n $.

Ответ: $ x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

б) Для решения неравенства $ \sin x < 0 $ снова обратимся к единичной тригонометрической окружности. Неравенство выполняется для углов, которым соответствуют точки с отрицательной ординатой (координатой y). Эти точки расположены в нижней полуплоскости, то есть в III и IV координатных четвертях.

Граничные точки, где $ \sin x = 0 $, это $ x = \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $. На одном обороте окружности (промежуток $[0, 2\pi)$) это углы $x=\pi$ и $x=2\pi$. Таким образом, основной интервал, удовлетворяющий неравенству, — это $ (\pi, 2\pi) $.

С учетом периодичности функции синуса ($ T=2\pi $), общее решение неравенства имеет вид: $ \pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

в) Для решения неравенства $ \cos x > 0 $ рассмотрим единичную тригонометрическую окружность. Значение $ \cos x $ соответствует абсциссе (координате x) точки на окружности. Неравенство $ \cos x > 0 $ выполняется для точек с положительной абсциссой. Эти точки расположены в правой полуплоскости, то есть в I и IV координатных четвертях.

Граничные точки, где $ \cos x = 0 $, это $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $. Удобно выбрать непрерывный интервал, соответствующий правой полуплоскости, — это $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

Функция косинуса периодична с периодом $ 2\pi $. Добавляя $ 2\pi n $ к границам основного интервала, получаем общее решение: $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

г) Для решения неравенства $ \cos x < 0 $ используем единичную тригонометрическую окружность. Нам нужны углы, для которых абсцисса (координата x) соответствующей точки на окружности отрицательна. Эти точки расположены в левой полуплоскости, то есть во II и III координатных четвертях.

Граничные точки, где $ \cos x = 0 $, это $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $. На одном обороте окружности (промежуток $[0, 2\pi)$) это углы $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{3\pi}{2}$. Таким образом, основной интервал, удовлетворяющий неравенству, — это $ (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) $.

Учитывая период функции косинуса, равный $ 2\pi $, общее решение неравенства записывается в виде: $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.