Номер 11.24, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.4. Однородные уравнения. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.24, страница 309.

11.24 Какое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени? Приведите примеры.

Какое уравнение называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени?

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называют уравнение вида:
$a \cdot \sin(x) + b \cdot \cos(x) = 0$

Здесь $x$ — неизвестная переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числовые коэффициенты, причем предполагается, что они не равны нулю одновременно ($a \neq 0$ или $b \neq 0$). Если $a \neq 0$ и $b \neq 0$, уравнение решается специальным методом. Если один из коэффициентов равен нулю, уравнение становится простейшим ($a \sin(x) = 0$ или $b \cos(x) = 0$).

Ключевая особенность такого уравнения в том, что все его слагаемые имеют одинаковую (первую) степень относительно тригонометрических функций $\sin(x)$ и $\cos(x)$, а свободный член равен нулю.

Стандартный метод решения таких уравнений (при $a \neq 0$ и $b \neq 0$) заключается в делении обеих частей уравнения на $\cos(x)$. Это преобразование является равносильным и не приводит к потере корней. Обоснуем это: если бы $\cos(x) = 0$, то из исходного уравнения $a \sin(x) + b \cdot 0 = 0$ следовало бы, что $a \sin(x) = 0$. Так как мы рассматриваем случай $a \neq 0$, то должно быть $\sin(x) = 0$. Однако, $\sin(x)$ и $\cos(x)$ не могут быть равны нулю для одного и того же значения $x$, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Следовательно, в корнях данного уравнения $\cos(x)$ не может быть равен нулю, и на него можно делить.

После деления на $\cos(x)$ получаем:
$a \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + b \cdot \frac{\cos(x)}{\cos(x)} = 0$
$a \cdot \tan(x) + b = 0$

Это уравнение является простейшим алгебраическим уравнением относительно $\tan(x)$. Выражая тангенс, получаем:
$\tan(x) = -\frac{b}{a}$
откуда находится решение для $x$.

Приведите примеры.

Пример 1. Уравнение $\sin(x) + \cos(x) = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени с коэффициентами $a=1$ и $b=1$. Разделим обе части на $\cos(x) \neq 0$:
$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\cos(x)} = 0$
$\tan(x) + 1 = 0$
$\tan(x) = -1$
Решением является $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Пример 2. Уравнение $\sqrt{3}\sin(x) - \cos(x) = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени с коэффициентами $a=\sqrt{3}$ и $b=-1$. Разделим обе части на $\cos(x) \neq 0$:
$\sqrt{3}\frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{\cos(x)}{\cos(x)} = 0$
$\sqrt{3}\tan(x) - 1 = 0$
$\tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Решением является $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Пример 3. Уравнение $5\sin(3x) = 2\cos(3x)$.
Это уравнение также является однородным, так как его можно переписать в виде $5\sin(3x) - 2\cos(3x) = 0$. Аргументом тригонометрических функций здесь является $3x$, но структура уравнения та же. Решение проводится аналогично путем деления на $\cos(3x)$.