Номер 7, страница 53 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

7. Как рассчитать скорость истечения жидкости из шприца?

7. Скорость истечения жидкости из шприца можно рассчитать, используя фундаментальные принципы гидродинамики: уравнение неразрывности и уравнение Бернулли. Существует два основных подхода в зависимости от известных исходных данных.

Подход 1: На основе скорости движения поршня (уравнение неразрывности)

Этот метод является наиболее простым и практичным. Он основан на законе сохранения массы для несжимаемой жидкости. Согласно уравнению неразрывности, объем жидкости, проходящий через любое поперечное сечение потока за единицу времени, постоянен.

Дано:

$v_1$ – скорость движения поршня в шприце (м/с).

$S_1$ – площадь поперечного сечения поршня, т.е. внутренняя площадь цилиндра шприца (м²).

$S_2$ – площадь поперечного сечения выходного отверстия иглы (м²).

Площади можно рассчитать через внутренние диаметры шприца ($D_1$) и иглы ($D_2$): $S_1 = \frac{\pi D_1^2}{4}$ и $S_2 = \frac{\pi D_2^2}{4}$.

Найти:

$v_2$ – скорость истечения жидкости из иглы.

Решение:

Уравнение неразрывности для двух сечений шприца (в области поршня и на выходе из иглы) гласит, что объемный расход $Q$ постоянен:

$Q = S_1 v_1 = S_2 v_2$

Из этого равенства выражаем искомую скорость $v_2$:

$v_2 = v_1 \frac{S_1}{S_2}$

Подставляя формулы для площадей через диаметры, получаем удобное для расчетов соотношение:

$v_2 = v_1 \frac{\pi D_1^2 / 4}{\pi D_2^2 / 4} = v_1 \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2$

На практике скорость поршня $v_1$ можно найти, зная объем жидкости $V$, который был вытеснен за время $t$: $v_1 = \frac{V}{S_1 \cdot t}$. Тогда скорость истечения можно также выразить напрямую через объем: $v_2 = \frac{V}{S_2 \cdot t}$.

Ответ: Скорость истечения жидкости $v_2$ рассчитывается по формуле $v_2 = v_1 \frac{S_1}{S_2}$, где $v_1$ – скорость поршня, $S_1$ – площадь поршня, $S_2$ – площадь выходного отверстия иглы.

Подход 2: На основе приложенной силы (уравнение Бернулли)

Этот метод позволяет связать скорость истечения с силой, прикладываемой к поршню, и использует закон сохранения энергии для движущейся идеальной (невязкой) жидкости.

Дано:

$F$ – сила, приложенная к поршню (Н).

$\rho$ – плотность жидкости (кг/м³).

$S_1$ – площадь поперечного сечения поршня (м²).

$S_2$ – площадь поперечного сечения выходного отверстия иглы (м²).

Найти:

$v_2$ – скорость истечения жидкости из иглы.

Решение:

Запишем уравнение Бернулли для двух точек на одной горизонтальной линии тока: точка 1 – на поверхности жидкости под поршнем, точка 2 – на выходе из иглы.

$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

Здесь $P_1$ и $P_2$ – давления, $v_1$ и $v_2$ – скорости в точках 1 и 2 соответственно.

Давление на выходе из иглы равно атмосферному: $P_2 = P_{атм}$.

Давление под поршнем $P_1$ создается внешней силой $F$ (которая создает избыточное давление $\frac{F}{S_1}$) и внешним атмосферным давлением: $P_1 = P_{атм} + \frac{F}{S_1}$.

Из уравнения неразрывности (см. Подход 1) мы знаем, что $v_1 = v_2 \frac{S_2}{S_1}$.

Подставим все выражения в уравнение Бернулли:

$\left(P_{атм} + \frac{F}{S_1}\right) + \frac{1}{2}\rho \left(v_2 \frac{S_2}{S_1}\right)^2 = P_{атм} + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

Атмосферное давление $P_{атм}$ в левой и правой частях уравнения сокращается:

$\frac{F}{S_1} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \left(\frac{S_2}{S_1}\right)^2 = \frac{1}{2}\rho v_2^2$

Сгруппируем члены, содержащие $v_2^2$:

$\frac{F}{S_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 - \frac{1}{2}\rho v_2^2 \left(\frac{S_2}{S_1}\right)^2 = \frac{1}{2}\rho v_2^2 \left(1 - \left(\frac{S_2}{S_1}\right)^2\right)$

Выражаем отсюда $v_2^2$:

$v_2^2 = \frac{2F}{\rho S_1 \left(1 - \left(\frac{S_2}{S_1}\right)^2\right)}$

Извлекая квадратный корень, получаем итоговую формулу:

$v_2 = \sqrt{\frac{2F}{\rho S_1 \left(1 - \left(\frac{S_2}{S_1}\right)^2\right)}}$

Так как площадь поршня $S_1$ обычно намного больше площади отверстия иглы $S_2$, то отношение $\left(\frac{S_2}{S_1}\right)^2$ очень мало по сравнению с единицей. В этом случае знаменатель $1 - \left(\frac{S_2}{S_1}\right)^2 \approx 1$, и формула значительно упрощается:

$v_2 \approx \sqrt{\frac{2F}{\rho S_1}}$

Эта упрощенная формула является аналогом формулы Торричелли, где роль гидростатического давления $\rho g h$ играет давление $\frac{F}{S_1}$, создаваемое поршнем.

Ответ: Скорость истечения жидкости $v_2$ в зависимости от приложенной силы $F$ рассчитывается по формуле $v_2 = \sqrt{\frac{2F}{\rho S_1 (1 - (S_2/S_1)^2)}}$, где $F$ – сила, приложенная к поршню, $\rho$ – плотность жидкости, $S_1$ и $S_2$ – площади сечений поршня и иглы соответственно.