Номер 5, страница 144 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

5. Сравните величину средней скорости движения электронов в металле (скорость их теплового движения) с величиной средней скорости их упорядоченного движения, вызванной действием сил электрического поля.

В металлах свободные электроны участвуют в двух видах движения одновременно: хаотическом тепловом движении и упорядоченном (дрейфовом) движении под действием внешнего электрического поля. Для сравнения их скоростей проведем оценку для типичных условий.

Дано:

Для оценки скорости теплового движения электронов в меди (Cu):

Энергия Ферми: $E_F = 7.0 \text{ эВ}$

Масса электрона: $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}$

Для оценки скорости упорядоченного движения в медном проводе:

Сила тока: $I = 1 \text{ А}$

Площадь поперечного сечения: $S = 1 \text{ мм}^2$

Концентрация электронов проводимости: $n = 8.5 \times 10^{28} \text{ м}^{-3}$

Элементарный заряд: $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в систему СИ:

$E_F = 7.0 \text{ эВ} = 7.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ Дж} = 1.12 \times 10^{-18} \text{ Дж}$

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \times (10^{-3} \text{ м})^2 = 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Сравнить среднюю скорость теплового движения $v_{тепл}$ и среднюю скорость упорядоченного движения $v_{др}$.

Решение:

1. Скорость теплового движения ($v_{тепл}$). Электроны в металле образуют "электронный газ" и находятся в непрерывном хаотическом движении. Их кинетическая энергия очень высока. В соответствии с квантовой теорией, максимальная кинетическая энергия электронов при температуре абсолютного нуля равна энергии Ферми $E_F$. Скорость, соответствующая этой энергии (скорость Ферми), является хорошей оценкой для скорости теплового движения электронов.

$E_F = \frac{m_e v_{тепл}^2}{2}$

$v_{тепл} = \sqrt{\frac{2E_F}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.12 \times 10^{-18} \text{ Дж}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}}} \approx 1.57 \times 10^6 \text{ м/с}$

Это огромная скорость, составляющая более полутора тысяч километров в секунду. Однако это движение хаотично, и средний вектор скорости всех электронов равен нулю, поэтому ток не создается.

2. Скорость упорядоченного (дрейфового) движения ($v_{др}$). Когда к проводнику прикладывается электрическое поле, на хаотическое движение электронов накладывается их медленное направленное смещение (дрейф) против направления поля. Эта дрейфовая скорость и создает электрический ток $I$. Она связана с силой тока формулой:

$I = n \cdot e \cdot S \cdot v_{др}$

Отсюда выразим дрейфовую скорость:

$v_{др} = \frac{I}{n \cdot e \cdot S} = \frac{1 \text{ А}}{8.5 \times 10^{28} \text{ м}^{-3} \cdot 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} \approx 7.35 \times 10^{-5} \text{ м/с}$

Эта скорость очень мала и составляет менее одной десятой миллиметра в секунду ($0.0735$ мм/с).

3. Сравнение. Теперь сравним полученные величины:

$v_{тепл} \approx 1.57 \times 10^6 \text{ м/с}$

$v_{др} \approx 7.35 \times 10^{-5} \text{ м/с}$

Отношение скоростей:

$\frac{v_{тепл}}{v_{др}} = \frac{1.57 \times 10^6}{7.35 \times 10^{-5}} \approx 2.1 \times 10^{10}$

Таким образом, средняя скорость хаотического теплового движения электронов в металле на десять порядков (в десятки миллиардов раз) больше, чем скорость их упорядоченного дрейфа, создающего электрический ток.

Ответ: Величина средней скорости теплового движения электронов в металле (порядка $10^6$ м/с) неизмеримо больше величины средней скорости их упорядоченного движения (порядка $10^{-5} - 10^{-4}$ м/с). Скорость теплового движения превосходит скорость упорядоченного движения примерно в $10^{10} - 10^{11}$ раз.