Номер 3, страница 45, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Металлический шар диаметром 4 см погружен в достаточно большой сосуд, наполненный керосином. Найдите напряженность и потенциал электрического поля в точках, удаленных от центра шара на расстояния 1 см и 8 см. Заряд шара 100 нКл.

(Ответ: $E_1 = 0,28 \frac{МВ}{М}$; $\Phi_1 = 1,125 В$; $E_2 = 70 \frac{кВ}{М}$; $\Phi_2 = 5,625 кВ$)

Дано:

Диаметр металлического шара $d = 4$ см

Заряд шара $q = 100$ нКл

Расстояние до первой точки $r_1 = 1$ см

Расстояние до второй точки $r_2 = 8$ см

Среда - керосин. Диэлектрическая проницаемость керосина $\epsilon \approx 2$.

Электрическая постоянная $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$

Перевод в систему СИ:

$d = 0.04$ м

Радиус шара $R = d/2 = 0.02$ м

$q = 100 \cdot 10^{-9}$ Кл = $10^{-7}$ Кл

$r_1 = 0.01$ м

$r_2 = 0.08$ м

Найти:

$E_1, \phi_1$ - напряженность и потенциал в первой точке.

$E_2, \phi_2$ - напряженность и потенциал во второй точке.

Решение:

Задача разделяется на два случая: для точки внутри шара и для точки снаружи шара.

Напряженность и потенциал в точке, удаленной от центра шара на расстояние 1 см

Сравним расстояние до точки $r_1$ с радиусом шара $\text{R}$. Так как $r_1 = 1$ см, а $R = 2$ см, то $r_1 < R$. Это означает, что точка находится внутри металлического шара.

Согласно законам электростатики, напряженность электрического поля внутри проводника в состоянии равновесия равна нулю. Это происходит потому, что свободные заряды в проводнике перераспределяются так, чтобы скомпенсировать внешнее поле.

$E_1 = 0$

Потенциал в любой точке внутри проводника постоянен и равен потенциалу на его поверхности. Найдем потенциал на поверхности шара, помещенного в диэлектрик (керосин):

$\phi_{пов} = \frac{k \cdot q}{\epsilon \cdot R}$

Потенциал в первой точке $\phi_1$ равен потенциалу на поверхности:

$\phi_1 = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot 10^{-7} Кл}{2 \cdot 0.02 м} = \frac{900}{0.04} В = 22500$ В.

Ответ: $E_1 = 0$ В/м, $\phi_1 = 22.5$ кВ.

Напряженность и потенциал в точке, удаленной от центра шара на расстояние 8 см

Сравним расстояние до точки $r_2$ с радиусом шара $\text{R}$. Так как $r_2 = 8$ см, а $R = 2$ см, то $r_2 > R$. Это означает, что точка находится снаружи шара.

Согласно теореме Гаусса, электрическое поле, создаваемое заряженной сферой на расстоянии $r > R$ от ее центра, эквивалентно полю точечного заряда той же величины, помещенного в центр сферы.

Напряженность поля в этой точке вычисляется по формуле:

$E_2 = \frac{k \cdot q}{\epsilon \cdot r_2^2}$

Подставим числовые значения:

$E_2 = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot 10^{-7} Кл}{2 \cdot (0.08 м)^2} = \frac{900}{2 \cdot 0.0064} \frac{В}{м} = \frac{900}{0.0128} \frac{В}{м} = 70312.5$ В/м.

Потенциал поля в этой точке вычисляется по формуле:

$\phi_2 = \frac{k \cdot q}{\epsilon \cdot r_2}$

Подставим числовые значения:

$\phi_2 = \frac{9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2} \cdot 10^{-7} Кл}{2 \cdot 0.08 м} = \frac{900}{0.16} В = 5625$ В.

Ответ: $E_2 \approx 70.3$ кВ/м, $\phi_2 = 5.625$ кВ.