Номер 6, страница 83, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

6. Как зависят полная, полезная и теряемая мощности от величины сопротивления внешней цепи? Приведите математическое и графическое доказательство этих зависимостей.

6. Как зависят полная, полезная и теряемая мощности от величины сопротивления внешней цепи? Приведите математическое и графическое доказательство этих зависимостей Дано:

Источник тока с ЭДС $ \mathcal{E} $ и внутренним сопротивлением $ r $.

Внешнее сопротивление (нагрузка) $ R $.

Найти:

Математические и графические зависимости мощностей от сопротивления внешней цепи: $ P_{полн}(R) $, $ P_{полез}(R) $ и $ P_{потер}(R) $.

Решение:

Сила тока в цепи определяется законом Ома для полной цепи: $ I = \frac{\mathcal{E}}{R+r} $

Теперь выразим каждую из мощностей как функцию от внешнего сопротивления $ R $.

1. Зависимость полной мощности $ P_{полн}(R) $

Полная мощность, развиваемая источником, равна: $ P_{полн}(R) = \mathcal{E} \cdot I = \frac{\mathcal{E}^2}{R+r} $

Анализ зависимости: С увеличением внешнего сопротивления $ R $ (от 0 до $ \infty $), знаменатель $ (R+r) $ растет, следовательно, полная мощность $ P_{полн} $ монотонно убывает.

При $ R=0 $ (короткое замыкание), полная мощность максимальна: $ P_{полн}(0) = \frac{\mathcal{E}^2}{r} $.

При $ R \to \infty $ (разрыв цепи), полная мощность стремится к нулю: $ P_{полн}(\infty) \to 0 $.

2. Зависимость теряемой мощности $ P_{потер}(R) $

Теряемая мощность (мощность, выделяемая на внутреннем сопротивлении источника) равна: $ P_{потер}(R) = I^2 r = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 r = \frac{\mathcal{E}^2 r}{(R+r)^2} $

Анализ зависимости: С увеличением $ R $, знаменатель $ (R+r)^2 $ растет, следовательно, теряемая мощность $ P_{потер} $ также монотонно убывает.

При $ R=0 $, теряемая мощность максимальна и равна полной мощности: $ P_{потер}(0) = \frac{\mathcal{E}^2 r}{r^2} = \frac{\mathcal{E}^2}{r} $.

При $ R \to \infty $, теряемая мощность стремится к нулю: $ P_{потер}(\infty) \to 0 $.

3. Зависимость полезной мощности $ P_{полез}(R) $

Полезная мощность (мощность, выделяемая на внешней нагрузке) равна: $ P_{полез}(R) = I^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2} $

Анализ зависимости: Эта зависимость немонотонна.

При $ R=0 $, $ P_{полез}(0) = 0 $.

При $ R \to \infty $, $ P_{полез}(R) = \frac{\mathcal{E}^2 R}{R^2(1+r/R)^2} = \frac{\mathcal{E}^2}{R(1+r/R)^2} \to 0 $.

Поскольку функция начинается с нуля, положительна при $ R>0 $ и стремится к нулю на бесконечности, она должна иметь максимум. Найдем его, взяв производную $ \frac{dP_{полез}}{dR} $ и приравняв ее к нулю. $ \frac{d P_{полез}}{d R} = \mathcal{E}^2 \frac{d}{d R} \left( \frac{R}{(R+r)^2} \right) = \mathcal{E}^2 \frac{1 \cdot (R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} = \mathcal{E}^2 \frac{R+r - 2R}{(R+r)^3} = \mathcal{E}^2 \frac{r-R}{(R+r)^3} $

Производная равна нулю при $ r-R=0 $, то есть $ R=r $.

Таким образом, полезная мощность максимальна, когда внешнее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника.

Максимальное значение полезной мощности: $ P_{полез, max} = P_{полез}(r) = \frac{\mathcal{E}^2 r}{(r+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 r}{4r^2} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r} $

Графическое доказательство

На графике показаны зависимости всех трех мощностей от сопротивления внешней цепи $ R $.

Синим цветом показана полная мощность $ P_{полн} $, зеленым — полезная мощность $ P_{полез} $, красным — теряемая мощность $ P_{потер} $.

Ответ:

1. Полная мощность $ P_{полн}(R) = \frac{\mathcal{E}^2}{R+r} $ монотонно убывает с ростом $ R $.

2. Теряемая мощность $ P_{потер}(R) = \frac{\mathcal{E}^2 r}{(R+r)^2} $ также монотонно убывает с ростом $ R $.

3. Полезная мощность $ P_{полез}(R) = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2} $ сначала растет, достигает максимума при $ R=r $, а затем убывает. Максимальная полезная мощность равна $ P_{полез, max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r} $.