Номер 2, страница 123, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Электрон, вышедший из накаленного катода K электронно-лучевой трубки с достаточно малой скоростью, приобретает скорость в поле анода A, находящегося под потенциалом $\varphi$, и, пройдя между пластинами конденсатора длины $\text{l}$, попадает на флуоресцирующий экран, помещенный на расстоянии $\text{L}$ от конденсатора. Когда в конденсаторе появляется электрическое поле, пятно на экране смещается на расстояние $\text{d}$. Чему равна напряженность поля $\text{E}$ в конденсаторе?

(Ответ: $E = \frac{2d\varphi}{l(L + \frac{l}{2})}$)

Дано:

Потенциал анода: $φ$

Длина пластин конденсатора: $\text{l}$

Расстояние от конденсатора до экрана: $\text{L}$

Смещение пятна на экране: $\text{d}$

Заряд электрона: $\text{e}$

Масса электрона: $\text{m}$

Найти:

Напряженность поля в конденсаторе: $\text{E}$

Решение:

Движение электрона можно разделить на три этапа: ускорение до конденсатора, движение в конденсаторе и движение после конденсатора до экрана.

1. На первом этапе электрон, вышедший из катода с пренебрежимо малой начальной скоростью, ускоряется электрическим полем анода с потенциалом $φ$. По закону сохранения энергии работа электрического поля идет на увеличение кинетической энергии электрона:

$eφ = \frac{mv_x^2}{2}$

где $\text{e}$ – модуль заряда электрона, $\text{m}$ – его масса, $v_x$ – горизонтальная скорость, с которой электрон влетает в конденсатор. Отсюда получаем:

$mv_x^2 = 2eφ$

2. На втором этапе электрон движется внутри конденсатора длиной $\text{l}$. Его движение можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений: равномерного по горизонтали (вдоль оси Ox) и равноускоренного по вертикали (вдоль оси Oy) под действием электрического поля $\text{E}$.

Время пролета электроном конденсатора:

$t_1 = \frac{l}{v_x}$

На электрон действует вертикальная сила $F_y = eE$, которая сообщает ему вертикальное ускорение:

$a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{eE}{m}$

Вертикальное смещение $y_1$ за время $t_1$ (на выходе из конденсатора):

$y_1 = \frac{a_y t_1^2}{2} = \frac{1}{2} \frac{eE}{m} \left(\frac{l}{v_x}\right)^2 = \frac{eEl^2}{2mv_x^2}$

Вертикальная составляющая скорости $v_y$ на выходе из конденсатора:

$v_y = a_y t_1 = \frac{eE}{m} \frac{l}{v_x}$

3. На третьем этапе электрон движется от конденсатора до экрана на расстояние $\text{L}$. После выхода из конденсатора на электрон не действуют силы (пренебрегая гравитацией), поэтому он движется прямолинейно и равномерно со скоростями $v_x$ и $v_y$.

Время полета на этом участке:

$t_2 = \frac{L}{v_x}$

За это время электрон смещается по вертикали еще на расстояние $y_2$:

$y_2 = v_y t_2 = \left(\frac{eEl}{mv_x}\right) \left(\frac{L}{v_x}\right) = \frac{eElL}{mv_x^2}$

4. Полное вертикальное смещение $\text{d}$ на экране равно сумме смещений $y_1$ и $y_2$:

$d = y_1 + y_2 = \frac{eEl^2}{2mv_x^2} + \frac{eElL}{mv_x^2}$

Вынесем общий множитель:

$d = \frac{eEl}{mv_x^2} \left(\frac{l}{2} + L\right)$

5. Теперь подставим в это выражение $mv_x^2 = 2eφ$ из первого пункта:

$d = \frac{eEl}{2eφ} \left(L + \frac{l}{2}\right) = \frac{El}{2φ} \left(L + \frac{l}{2}\right)$

6. Из полученного соотношения выразим искомую напряженность поля $\text{E}$:

$2φd = El \left(L + \frac{l}{2}\right)$

$E = \frac{2dφ}{l\left(L + \frac{l}{2}\right)}$

Ответ: $E = \frac{2dφ}{l(L + \frac{l}{2})}$