Номер 4, страница 179, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Выведите формулу для расчета скорости распространения электромагнитных волн.

4. Выведите формулу для расчета скорости распространения электромагнитных волн Дано:

Система уравнений Максвелла для вакуума (в отсутствие зарядов и токов, $ \rho = 0, \vec{j} = 0 $):

1. Закон электромагнитной индукции Фарадея: $ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $

2. Обобщенный закон Ампера (с током смещения): $ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $

3. Закон Гаусса для электрического поля: $ \nabla \cdot \vec{E} = 0 $

4. Закон Гаусса для магнитного поля: $ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $

Здесь $ \varepsilon_0 $ — электрическая постоянная, $ \mu_0 $ — магнитная постоянная.

Найти:

Формулу для скорости распространения электромагнитных волн $ c $.

Решение:

Для вывода волнового уравнения необходимо получить уравнение, связывающее вторые производные поля по координатам со второй производной по времени. Для этого применим операцию "ротор" (векторное произведение с оператором набла $ \nabla \times $) к первому уравнению Максвелла (закону Фарадея): $ \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla \times \left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) $

В левой части используем известное векторное тождество: $ \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} $. В правой части можно поменять порядок дифференцирования по времени и по координатам: $ \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^2 \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{B}) $

Теперь используем другие уравнения Максвелла для упрощения. Согласно закону Гаусса для электрического поля в вакууме, $ \nabla \cdot \vec{E} = 0 $. Поэтому первый член в левой части равен нулю. В правую часть подставим второе уравнение Максвелла $ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $: $ 0 - \nabla^2 \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) $

Упрощаем выражение, вынося константы за знак производной и умножая на -1: $ \nabla^2 \vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} $

Полученное уравнение является классическим волновым уравнением в трехмерном пространстве. Общий вид такого уравнения: $ \nabla^2 f = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} $ где $ v $ — скорость распространения волны. Сравнивая наше уравнение для электрического поля $ \vec{E} $ с общим видом волнового уравнения, мы видим, что: $ \frac{1}{v^2} = \mu_0 \varepsilon_0 $

Отсюда скорость распространения волны $ v $, которую для вакуума обозначают как $ c $, равна: $ c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \implies c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} $

Аналогичный вывод можно проделать для магнитного поля $ \vec{B} $, взяв ротор от второго уравнения Максвелла, что приведет к тому же результату.

Ответ: Формула для расчета скорости распространения электромагнитных волн в вакууме имеет вид $ c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} $, где $ \varepsilon_0 $ — электрическая постоянная, а $ \mu_0 $ — магнитная постоянная.