Номер 4, страница 176, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*4. Стержень длиной $\text{l}$ вращается против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega$ вокруг одного из своих концов в магнитном поле с индукцией $\text{B}$, направленной перпендикулярно плоскости вращения стержня. Чему равна ЭДС индукции, возникающей в стержне (рис. 76.4)?

(Ответ: $\left(\mathcal{E}_i = -\frac{1}{2} B \omega l^2\right))$

Рис. 76.4

Дано:

Длина стержня: $\text{l}$

Угловая скорость вращения: $ω$

Индукция магнитного поля: $\text{B}$

Вектор $\vec{B}$ перпендикулярен плоскости вращения.

Найти:

ЭДС индукции $ε_i$

Решение:

Для нахождения ЭДС индукции воспользуемся законом электромагнитной индукции Фарадея, который гласит, что ЭДС индукции в замкнутом контуре равна скорости изменения магнитного потока через этот контур, взятой с обратным знаком:

$ε_i = - \frac{dΦ_B}{dt}$

где $Φ_B$ — магнитный поток.

Хотя стержень не является замкнутым контуром, мы можем рассмотреть воображаемый контур, образованный стержнем в его начальном положении (например, в момент времени $t=0$), его положением в произвольный момент времени $\text{t}$ и дугой, которую описывает свободный конец стержня.

За промежуток времени $\text{t}$ стержень повернется на угол $φ = ωt$.

Площадь $\text{S}$, которую "заметает" стержень за это время, представляет собой площадь сектора круга с радиусом $\text{l}$ и центральным углом $φ$. Площадь сектора вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} l^2 φ$

Подставим выражение для угла $φ = ωt$:

$S(t) = \frac{1}{2} l^2 ωt$

Поскольку магнитное поле $\text{B}$ однородно и перпендикулярно плоскости вращения, магнитный поток $Φ_B$ через эту площадь равен произведению индукции поля на площадь:

$Φ_B(t) = B \cdot S(t) = B \cdot \frac{1}{2} l^2 ωt = \frac{1}{2} Bωl^2t$

Теперь, согласно закону Фарадея, найдем ЭДС индукции как производную от магнитного потока по времени, взятую со знаком минус:

$ε_i = - \frac{dΦ_B}{dt} = - \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} Bωl^2t \right)$

Величины $\text{B}$, $ω$ и $\text{l}$ являются постоянными, поэтому их можно вынести за знак производной:

$ε_i = - \frac{1}{2} Bωl^2 \frac{d(t)}{dt}$

Производная времени по времени $\frac{d(t)}{dt}$ равна 1. Таким образом, получаем окончательное выражение для ЭДС индукции:

$ε_i = - \frac{1}{2} Bωl^2$

Знак минус в формуле соответствует правилу Ленца: индуцированный ток (если бы цепь была замкнута) создавал бы магнитное поле, противодействующее изменению магнитного потока, который его породил.

Ответ: ЭДС индукции, возникающая в стержне, равна $ε_i = - \frac{1}{2} Bωl^2$.