Номер 2, страница 175, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Выведите формулу для расчета ЭДС индукции, возникающей в прямолинейном проводнике, движущемся в магнитном поле.

ЭДС индукции, возникающая в прямолинейном проводнике, движущемся в магнитном поле, называется движущей ЭДС. Её возникновение объясняется действием силы Лоренца на свободные носители заряда в проводнике. Выведем формулу для её расчета.

Вывод для простейшего случая

Рассмотрим прямой проводник длиной $\text{L}$, который движется с постоянной скоростью $\vec{v}$ в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$. Для начала предположим, что векторы скорости $\vec{v}$, магнитной индукции $\vec{B}$ и сам проводник (вектор длины $\vec{L}$) взаимно перпендикулярны.

Внутри проводника имеются свободные носители заряда (например, электроны с зарядом $\text{q}$). Вместе с проводником они движутся в магнитном поле. На каждый такой заряд действует сила Лоренца:

$\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$

Поскольку векторы $\vec{v}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны, модуль силы Лоренца равен $F_L = qvB$. Согласно правилу векторного произведения (или правилу левой/правой руки), направление этой силы в данном случае совпадает с направлением проводника.

Под действием силы Лоренца свободные заряды смещаются к одному из концов проводника. Это приводит к разделению зарядов: на одном конце накапливается избыточный положительный заряд, на другом — отрицательный. Внутри проводника возникает электрическое поле $\vec{E}$, которое создает электрическую силу $\vec{F}_e = q\vec{E}$, направленную противоположно силе Лоренца.

Перемещение зарядов прекратится, когда электрическая сила уравновесит магнитную:

$F_e = F_L \implies qE = qvB$

Отсюда напряженность индуцированного электрического поля равна $E = vB$.

ЭДС индукции по определению равна разности потенциалов между концами проводника. Для однородного поля $\text{E}$ на длине $\text{L}$ она равна:

$\mathcal{E}_i = E \cdot L$

Подставив выражение для $\text{E}$, получаем формулу для простейшего случая:

$\mathcal{E}_i = BvL$

Обобщение на случай произвольного угла

Теперь рассмотрим более общий случай, когда вектор скорости $\vec{v}$ и вектор магнитной индукции $\vec{B}$ образуют произвольный угол $\alpha$. Будем считать, что проводник движется перпендикулярно своей длине, и его ориентация такова, что возникающая сила Лоренца направлена вдоль него.

Модуль силы Лоренца в этом случае равен:

$F_L = q|\vec{v} \times \vec{B}| = qvB\sin\alpha$

Аналогично предыдущим рассуждениям, эта сила вызывает разделение зарядов до тех пор, пока не будет скомпенсирована силой со стороны индуцированного электрического поля $\text{E}$:

$qE = F_L = qvB\sin\alpha$

$E = vB\sin\alpha$

Тогда ЭДС индукции на концах проводника длиной $\text{L}$ будет равна:

$\mathcal{E}_i = E \cdot L = (vB\sin\alpha)L$

Таким образом, итоговая формула имеет вид:

$\mathcal{E}_i = BvL\sin\alpha$

Эта формула включает в себя и рассмотренный ранее частный случай: если $\vec{v} \perp \vec{B}$, то $\alpha = 90^\circ$, $\sin(90^\circ) = 1$, и мы получаем $\mathcal{E}_i = BvL$. Если же проводник движется параллельно линиям магнитного поля ($\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$), то $\sin\alpha = 0$ и ЭДС индукции не возникает.

Ответ: Формула для расчета ЭДС индукции, возникающей в прямолинейном проводнике, движущемся в магнитном поле, имеет вид: $\mathcal{E}_i = BvL\sin\alpha$ где $\text{B}$ — модуль вектора магнитной индукции, $\text{v}$ — модуль скорости движения проводника, $\text{L}$ — длина проводника, а $\alpha$ — угол между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$. Наиболее общим является векторное выражение $\mathcal{E}_i = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{L}$, которое учитывает взаимную ориентацию всех трех векторов.