Номер 554, страница 75 - гдз по физике 10-11 класс задачник Рымкевич

554. Давление насыщенного пара эфира при $0 ^\circ\text{C}$ равно $24,7 \text{ кПа}$, а при $40 ^\circ\text{C}$ — $123 \text{ кПа}$. Сравнить значения плотности пара при этих температурах.

Дано:

$t_1 = 0°C$
$p_1 = 24.7 \text{ кПа}$
$t_2 = 40°C$
$p_2 = 123 \text{ кПа}$

Перевод в систему СИ:
$T_1 = 0 + 273 = 273 \text{ К}$
$p_1 = 24.7 \times 10^3 \text{ Па}$
$T_2 = 40 + 273 = 313 \text{ К}$
$p_2 = 123 \times 10^3 \text{ Па}$

Найти:

Сравнить плотности $\rho_1$ и $\rho_2$, т.е. найти отношение $\frac{\rho_2}{\rho_1}$.

Решение:

Для решения задачи будем рассматривать насыщенный пар эфира как идеальный газ. Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$p V = \frac{m}{M} R T$

где $p$ — давление газа, $V$ — его объем, $m$ — масса газа, $M$ — его молярная масса, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $T$ — абсолютная температура.

Плотность вещества $\rho$ определяется как отношение массы к объему: $\rho = \frac{m}{V}$. Чтобы связать плотность с параметрами состояния газа, преобразуем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$p = \frac{m}{V} \frac{R T}{M}$

Подставив определение плотности, получаем:

$p = \rho \frac{R T}{M}$

Из этого соотношения выразим плотность:

$\rho = \frac{p M}{R T}$

Теперь мы можем записать выражения для плотности пара при двух заданных температурах.

При температуре $T_1$ и давлении $p_1$ плотность равна: $\rho_1 = \frac{p_1 M}{R T_1}$

При температуре $T_2$ и давлении $p_2$ плотность равна: $\rho_2 = \frac{p_2 M}{R T_2}$

Для сравнения плотностей найдем их отношение $\frac{\rho_2}{\rho_1}$:

$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{\frac{p_2 M}{R T_2}}{\frac{p_1 M}{R T_1}} = \frac{p_2 M}{R T_2} \cdot \frac{R T_1}{p_1 M}$

Молярная масса эфира $M$ и универсальная газовая постоянная $R$ в этом выражении сокращаются, так как они являются константами. В результате получаем:

$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{p_2 T_1}{p_1 T_2}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия. Давление можно подставлять в килопаскалях, так как единицы измерения в числителе и знаменателе сократятся. Температуру необходимо использовать в абсолютной шкале (в кельвинах).

$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{123 \text{ кПа} \cdot 273 \text{ К}}{24.7 \text{ кПа} \cdot 313 \text{ К}} = \frac{123 \cdot 273}{24.7 \cdot 313} \approx \frac{33579}{7731.1} \approx 4.34$

Ответ: Плотность насыщенного пара эфира при $40°C$ приблизительно в $4.34$ раза больше, чем при $0°C$.