Номер 5, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Контрольная работа № 5

Многогранники

1. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 6 см и 8 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её боковое ребро равно 5 см.

2. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 22 см, а боковое ребро — $4\sqrt{5}$ см.

3. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной $a$ и углом $\alpha$ при вершине. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны $\beta$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности пирамиды;

2) высоту пирамиды.

4. В наклонной треугольной призме, боковое ребро которой равно 18 см, проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Это сечение является треугольником со сторонами 3 см и 8 см и углом $60^\circ$ между ними. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

5. На ребре $AB$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 3 : 4$. Точки $E$ и $F$ — середины отрезков $AB_1$ и $BD$ соответственно. В каком отношении плоскость $MEF$ делит диагональ $B_1D$?

1. Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и двух площадей основания $S_{осн}$.
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см.

1. Найдем гипотенузу $c$ основания по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Найдем площадь основания:
$S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.

3. Найдем периметр основания $P_{осн}$:
$P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см.

4. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту (длину бокового ребра $h=5$ см):
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot 5 = 120$ см$^2$.

5. Найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 120 + 2 \cdot 24 = 120 + 48 = 168$ см$^2$.

Ответ: 168 см$^2$.

2. Боковая поверхность правильной усеченной четырёхугольной пирамиды состоит из четырех равных равнобедренных трапеций. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна учетверенной площади одной такой трапеции $S_{трап}$.
Даны стороны оснований $a_1 = 22$ см и $a_2 = 6$ см, и боковое ребро $l = 4\sqrt{5}$ см.

1. Найдем высоту боковой грани (апофему усеченной пирамиды) $h_a$. Для этого рассмотрим боковую грань-трапецию. Проведем в ней высоту из вершины меньшего основания к большему. Получим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это боковое ребро $l$, один катет — апофема $h_a$, а второй катет равен полуразности оснований трапеции.

Длина этого катета: $\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{22 - 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. По теореме Пифагора найдем апофему $h_a$ :
$h_a = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2} = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 - 8^2} = \sqrt{16 \cdot 5 - 64} = \sqrt{80 - 64} = \sqrt{16} = 4$ см.

3. Найдем площадь одной боковой грани (трапеции):
$S_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a = \frac{22 + 6}{2} \cdot 4 = \frac{28}{2} \cdot 4 = 14 \cdot 4 = 56$ см$^2$.

4. Найдем площадь всей боковой поверхности:
$S_{бок} = 4 \cdot S_{трап} = 4 \cdot 56 = 224$ см$^2$.

Ответ: 224 см$^2$.

3. Так как все двугранные углы при ребрах основания равны $\beta$, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности.

Сначала найдем характеристики треугольника в основании. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a$ и углом при вершине $\alpha$.

Площадь основания $S_{осн}$:
$S_{осн} = \frac{1}{2}a \cdot a \sin\alpha = \frac{1}{2}a^2\sin\alpha$.

Третья сторона основания (обозначим её $c$) по теореме косинусов:
$c = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2\cos\alpha} = \sqrt{2a^2(1-\cos\alpha)} = \sqrt{2a^2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2a\sin(\frac{\alpha}{2})$.

Полупериметр основания $p$:
$p = \frac{a+a+c}{2} = \frac{2a + 2a\sin(\frac{\alpha}{2})}{2} = a(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))$.

Радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{\frac{1}{2}a^2\sin\alpha}{a(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{\frac{1}{2}a \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})}$.

1) площадь боковой поверхности пирамиды;
Площадь боковой поверхности пирамиды, у которой все двугранные углы при основании равны, находится по формуле $S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos\beta}$.
$S_{бок} = \frac{\frac{1}{2}a^2\sin\alpha}{\cos\beta} = \frac{a^2\sin\alpha}{2\cos\beta}$.
Ответ: $\frac{a^2\sin\alpha}{2\cos\beta}$.

2) высоту пирамиды.
Высота пирамиды $H$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ и двугранным углом $\beta$ соотношением $H = r \cdot \tan\beta$.
$H = \frac{a\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})} \tan\beta$.
Ответ: $\frac{a\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{1 + \sin(\frac{\alpha}{2})} \tan\beta$.

4. Площадь боковой поверхности наклонной призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — периметр сечения, перпендикулярного боковому ребру, а $l$ — длина бокового ребра.

Дано: $l = 18$ см. Сечение — треугольник со сторонами $a' = 3$ см, $b' = 8$ см и углом между ними $\gamma' = 60^\circ$.

1. Найдем третью сторону сечения $c'$ по теореме косинусов:
$c'^2 = a'^2 + b'^2 - 2a'b'\cos\gamma' = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49$.
$c' = \sqrt{49} = 7$ см.

2. Найдем периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$:
$P_{\perp} = a' + b' + c' = 3 + 8 + 7 = 18$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 18 \cdot 18 = 324$ см$^2$.

Ответ: 324 см$^2$.

5. Для решения задачи применим векторный метод. Примем точку $A$ за начало координат и введем базисные векторы: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

1. Выразим радиус-векторы заданных точек через базис:
Точка $M$ на ребре $AB$ с $AM:MB = 3:4 \implies \vec{AM} = \frac{3}{7}\vec{AB} = \frac{3}{7}\vec{b}$.
Точка $E$ — середина $AB_1 \implies \vec{AE} = \frac{1}{2}(\vec{AA} + \vec{AB_1}) = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
Точка $F$ — середина $BD \implies \vec{AF} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d})$.

2. Пусть плоскость $MEF$ пересекает диагональ $B_1D$ в точке $P$. Точка $P$ лежит на диагонали $B_1D$, значит, ее радиус-вектор $\vec{AP}$ можно выразить как:
$\vec{AP} = (1-k)\vec{AB_1} + k\vec{AD} = (1-k)(\vec{b} + \vec{c}) + k\vec{d} = (1-k)\vec{b} + (1-k)\vec{c} + k\vec{d}$.
Здесь $k$ показывает, в каком отношении точка $P$ делит отрезок $B_1D$, а именно $B_1P : PD = k : (1-k)$.

3. Точка $P$ также лежит в плоскости $MEF$, поэтому ее радиус-вектор можно представить как линейную комбинацию векторов точек, определяющих плоскость, например, через M, E, F:
$\vec{AP} = (1-s-t)\vec{AM} + s\vec{AE} + t\vec{AF}$.
Подставим векторные выражения:
$\vec{AP} = (1-s-t)\frac{3}{7}\vec{b} + s\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) + t\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d})$.
Сгруппируем слагаемые при базисных векторах:
$\vec{AP} = \left(\frac{3(1-s-t)}{7} + \frac{s}{2} + \frac{t}{2}\right)\vec{b} + \frac{s}{2}\vec{c} + \frac{t}{2}\vec{d}$.

4. Приравняем коэффициенты при базисных векторах $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ в двух выражениях для $\vec{AP}$:
$\begin{cases} (1-k)\vec{b} + (1-k)\vec{c} + k\vec{d} = \left(\frac{3-3s-3t}{7} + \frac{s}{2} + \frac{t}{2}\right)\vec{b} + \frac{s}{2}\vec{c} + \frac{t}{2}\vec{d} \end{cases}$
Получаем систему уравнений:
1) $k = \frac{t}{2} \implies t=2k$
2) $1-k = \frac{s}{2} \implies s=2(1-k)$
3) $1-k = \frac{3-3s-3t}{7} + \frac{s}{2} + \frac{t}{2}$

5. Подставим выражения для $s$ и $t$ из первого и второго уравнений в третье:
$1-k = \frac{3-3(2(1-k))-3(2k)}{7} + \frac{2(1-k)}{2} + \frac{2k}{2}$
$1-k = \frac{3-6+6k-6k}{7} + (1-k) + k$
$1-k = \frac{-3}{7} + 1$
$1-k = \frac{4}{7}$
$k = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

6. Искомое отношение $B_1P : PD = k : (1-k) = \frac{3}{7} : \left(1-\frac{3}{7}\right) = \frac{3}{7} : \frac{4}{7} = 3:4$.

Ответ: 3:4.