Номер 23, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 23

Тетраэдр

1. Плоскость пересекает рёбра $MC$, $MA$, $AB$ и $BC$ тетраэдра $MABC$ в точках $K, N, E$ и $F$ соответственно. Известно, что $CK : KM = 7 : 3$, $MN : NA = 6 : 5$, $AE : EB = 1 : 7$. Найдите отношение $AD : DB$.

2. Найдите расстояние между серединами рёбер $AC$ и $DB$ ортоцентрического тетраэдра $DABC$, если $AC = 20$ см, $DB = 21$ см.

3. Найдите медианы равногранного тетраэдра $DABC$, если $BC = 7$ см, $CD = 9$ см, $DB = \sqrt{70}$ см.

1.

В условии задачи, по-видимому, допущена опечатка. Вершины тетраэдра обозначены как M, A, B, C, в то время как требуется найти отношение AD:DB, где точка D не определена. Наиболее вероятным является предположение, что имелось в виду найти отношение, в котором плоскость делит ребро BC, то есть CF:FB. Решим задачу в этой постановке.

Точки K, N, E, F лежат на рёбрах MC, MA, AB и BC соответственно и принадлежат одной плоскости. Рассмотрим пространственный аналог теоремы Менелая для тетраэдра или воспользуемся методом проекций.

Пусть прямые KN и EF, лежащие в секущей плоскости, пересекаются в точке P. Прямая KN лежит в плоскости грани MAC, а прямая EF лежит в плоскости грани ABC. Следовательно, их точка пересечения P должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой AC.

1. Применим теорему Менелая для треугольника MAC и секущей KNP:
$ \frac{MN}{NA} \cdot \frac{AP}{PC} \cdot \frac{CK}{KM} = 1 $

По условию $CK : KM = 7 : 3$, значит $\frac{CK}{KM} = \frac{7}{3}$.
По условию $MN : NA = 6 : 5$, значит $\frac{MN}{NA} = \frac{6}{5}$.
Подставим известные значения в формулу:
$ \frac{6}{5} \cdot \frac{AP}{PC} \cdot \frac{7}{3} = 1 $
$ \frac{14}{5} \cdot \frac{AP}{PC} = 1 $
$ \frac{AP}{PC} = \frac{5}{14} $

2. Теперь применим теорему Менелая для треугольника ABC и секущей EFP:
$ \frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1 $

По условию $AE : EB = 1 : 7$, значит $\frac{AE}{EB} = \frac{1}{7}$.
Из предыдущего шага мы знаем, что $\frac{AP}{PC} = \frac{5}{14}$, следовательно, $\frac{CP}{PA} = \frac{14}{5}$.
Подставим значения в формулу:
$ \frac{1}{7} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{14}{5} = 1 $
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{BF}{FC} = 1 $
$ \frac{BF}{FC} = \frac{5}{2} $

Таким образом, искомое отношение $CF : FB = 2 : 5$.

Другой способ решения — использование теоремы о сечении тетраэдра плоскостью. Для скрещивающихся рёбер MA, AB, BC, CM и точек N, E, F, K на них справедливо соотношение:
$ \frac{MN}{NA} \cdot \frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CK}{KM} = 1 $
$ \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{7}{3} = 1 $
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{BF}{FC} = 1 \implies \frac{BF}{FC} = \frac{5}{2} $
Следовательно, $CF : FB = 2 : 5$.

Ответ: 2:5

2.

Ортоцентрическим называется тетраэдр, у которого все четыре высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке. Основное свойство ортоцентрического тетраэдра: суммы квадратов длин противоположных рёбер равны.

Для тетраэдра DABC это означает:
$ DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2 $

Пусть P — середина ребра AC, а Q — середина ребра DB. Отрезок PQ, соединяющий середины скрещивающихся рёбер, называется бимедианой тетраэдра. Длина бимедианы, соединяющей середины рёбер AC и DB, в общем случае вычисляется по формуле:
$ PQ^2 = \frac{1}{4}(DA^2 + AB^2 + BC^2 + CD^2 - AC^2 - DB^2) $

Используем свойство ортоцентрического тетраэдра. Обозначим $S = DB^2 + AC^2$. Тогда $DA^2 + BC^2 = S$ и $DC^2 + AB^2 = S$. Подставим эти выражения в формулу для длины бимедианы:
$ PQ^2 = \frac{1}{4}((DA^2 + BC^2) + (AB^2 + DC^2) - (AC^2 + DB^2)) = \frac{1}{4}(S + S - S) = \frac{S}{4} $

Таким образом, для ортоцентрического тетраэдра квадрат длины бимедианы равен четверти суммы квадратов длин соответствующих скрещивающихся рёбер.
$ PQ^2 = \frac{1}{4}(AC^2 + DB^2) $

По условию $AC = 20$ см и $DB = 21$ см. Подставим эти значения:
$ PQ^2 = \frac{1}{4}(20^2 + 21^2) = \frac{1}{4}(400 + 441) = \frac{841}{4} $
$ PQ = \sqrt{\frac{841}{4}} = \frac{\sqrt{841}}{2} = \frac{29}{2} = 14,5 $ см.

Ответ: 14,5 см

3.

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными между собой треугольниками. Из этого следует, что противоположные рёбра тетраэдра попарно равны.

Пусть в тетраэдре DABC даны длины рёбер одной грани DBC: $BC = 7$ см, $CD = 9$ см, $DB = \sqrt{70}$ см.
Тогда длины противоположных им рёбер будут соответственно равны:
$DA = BC = 7$ см.
$AB = CD = 9$ см.
$AC = DB = \sqrt{70}$ см.

Все четыре грани тетраэдра — это равные треугольники со сторонами 7, 9 и $\sqrt{70}$.

Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противоположной грани. В равногранном тетраэдре все четыре медианы равны по длине.

Найдём длину медианы $m_D$, проведённой из вершины D к центроиду грани ABC. Квадрат длины медианы тетраэдра вычисляется по формуле:
$ m_D^2 = \frac{1}{3}(DA^2 + DB^2 + DC^2) - \frac{1}{9}(AB^2 + BC^2 + AC^2) $

Для равногранного тетраэдра, как мы видим, набор длин рёбер, выходящих из одной вершины (например, D: DA, DB, DC), совпадает с набором длин сторон противоположной грани (ABC: AB, AC, BC).
Вычислим сумму квадратов длин рёбер:
$DA^2 + DB^2 + DC^2 = 7^2 + (\sqrt{70})^2 + 9^2 = 49 + 70 + 81 = 200$ см$^2$.
$AB^2 + BC^2 + AC^2 = 9^2 + 7^2 + (\sqrt{70})^2 = 81 + 49 + 70 = 200$ см$^2$.

Подставим эти значения в формулу для медианы:
$ m_D^2 = \frac{1}{3}(200) - \frac{1}{9}(200) = 200 \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{9}) = 200 \cdot (\frac{3-1}{9}) = 200 \cdot \frac{2}{9} = \frac{400}{9} $ см$^2$.

Тогда длина медианы:
$ m_D = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3} $ см.

Так как тетраэдр равногранный, все его медианы равны $20/3$ см.

Ответ: все медианы равны $\frac{20}{3}$ см.