Номер 20, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 20

Параллелепипед

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 17 см, 13 см и 8 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 12 см и $6\sqrt{3}$ см, а острый угол — $30^{\circ}$. Найдите меньшую диагональ параллелепипеда, если его высота равна 8 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны 9 см$^2$ и 12 см$^2$.

1. Пусть $d$ — диагональ прямоугольного параллелепипеда, а $a, b, c$ — его измерения (длина, ширина, высота).
По условию задачи:
$a = d - 17$ см
$b = d - 13$ см
$c = d - 8$ см
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Подставим выражения для $a, b, c$:
$d^2 = (d - 17)^2 + (d - 13)^2 + (d - 8)^2$
Раскроем скобки:
$d^2 = (d^2 - 34d + 289) + (d^2 - 26d + 169) + (d^2 - 16d + 64)$
Приведем подобные слагаемые:
$d^2 = 3d^2 - 76d + 522$
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2d^2 - 76d + 522 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$d^2 - 38d + 261 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 261 = 1444 - 1044 = 400 = 20^2$
Найдем корни уравнения:
$d_1 = \frac{38 + \sqrt{400}}{2} = \frac{38 + 20}{2} = \frac{58}{2} = 29$
$d_2 = \frac{38 - \sqrt{400}}{2} = \frac{38 - 20}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Проверим оба корня, так как измерения параллелепипеда должны быть положительными числами.
Если $d = 29$ см:
$a = 29 - 17 = 12$ см (положительное)
$b = 29 - 13 = 16$ см (положительное)
$c = 29 - 8 = 21$ см (положительное)
Это решение подходит.
Если $d = 9$ см:
$a = 9 - 17 = -8$ см (отрицательное)
Это решение не подходит, так как длина ребра не может быть отрицательной.
Следовательно, диагональ параллелепипеда равна 29 см.
Ответ: 29 см.

2. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 12$ см и $b = 6\sqrt{3}$ см и острым углом $\alpha = 30^\circ$. Высота параллелепипеда $h = 8$ см.
Квадрат диагонали параллелепипеда ($D^2$) равен сумме квадрата его высоты ($h^2$) и квадрата соответствующей диагонали основания ($d_{осн}^2$). То есть, $D^2 = d_{осн}^2 + h^2$.
Чтобы найти меньшую диагональ параллелепипеда, нужно сначала найти меньшую диагональ основания. Меньшая диагональ параллелограмма лежит против его острого угла. Найдем квадрат ее длины ($d_1^2$) по теореме косинусов:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
$d_1^2 = 12^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)$
Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$d_1^2 = 144 + 36 \cdot 3 - 144\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$d_1^2 = 144 + 108 - \frac{144 \cdot 3}{2} = 252 - 216 = 36$
Меньшая диагональ основания $d_1 = \sqrt{36} = 6$ см.
Теперь найдем меньшую диагональ параллелепипеда ($D_1$):
$D_1^2 = d_1^2 + h^2$
$D_1^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$D_1 = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Пусть его диагонали равны $d_1$ и $d_2$, а сторона — $a$. Высота параллелепипеда — $h$.
Диагональные сечения прямого параллелепипеда — это прямоугольники, их площади равны произведениям диагоналей основания на высоту.
$S_1 = d_1 \cdot h = 9$ см²
$S_2 = d_2 \cdot h = 12$ см²
Из этих уравнений можно выразить диагонали основания через высоту:
$d_1 = \frac{9}{h}$
$d_2 = \frac{12}{h}$
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Сторона ромба $a$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. По теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4}$
Подставим выражения для $d_1$ и $d_2$:
$a^2 = \frac{(\frac{9}{h})^2 + (\frac{12}{h})^2}{4} = \frac{\frac{81}{h^2} + \frac{144}{h^2}}{4} = \frac{\frac{225}{h^2}}{4} = \frac{225}{4h^2}$
Отсюда сторона ромба:
$a = \sqrt{\frac{225}{4h^2}} = \frac{15}{2h}$
Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания ($P$) на высоту ($h$).
Периметр ромба $P = 4a$.
$S_{бок} = P \cdot h = 4a \cdot h$
Подставим найденное выражение для $a$:
$S_{бок} = 4 \cdot (\frac{15}{2h}) \cdot h = \frac{60h}{2h} = 30$ см².
Ответ: 30 см².