Номер 22, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 22

Усечённая пирамида

1. Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равно $3\sqrt{6}$ см, а сторона меньшего основания — 2 см. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды, если её высота равна 6 см.

2. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны 12 см и 42 см, а её высота — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

3. Площади оснований усечённой пирамиды равны $20\text{ см}^2$ и $34\text{ см}^2$, а площадь боковой поверхности — $14\sqrt{2}\text{ см}^2$. Все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны. Найдите эти углы.

1.

Дана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Это означает, что её основаниями являются квадраты. Диагональное сечение такой пирамиды представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой служат диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), боковыми сторонами — боковые рёбра пирамиды ($l$), а высотой — высота самой пирамиды ($H$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{сечения} = \frac{d_1 + d_2}{2} H$

Из условия задачи известны: боковое ребро $l = 3\sqrt{6}$ см, сторона меньшего основания $a_2 = 2$ см, высота пирамиды $H = 6$ см.

1. Найдём диагональ меньшего основания. Так как это квадрат со стороной $a_2 = 2$ см, его диагональ $d_2$ равна: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Найдём диагональ большего основания $d_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, боковым ребром $l$ и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Длина этой проекции равна полуразности диагоналей оснований: $\frac{d_1 - d_2}{2}$. По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + \left(\frac{d_1 - d_2}{2}\right)^2$

Подставим известные значения: $(3\sqrt{6})^2 = 6^2 + \left(\frac{d_1 - 2\sqrt{2}}{2}\right)^2$ $54 = 36 + \left(\frac{d_1 - 2\sqrt{2}}{2}\right)^2$ $18 = \left(\frac{d_1 - 2\sqrt{2}}{2}\right)^2$

Извлечём квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{18} = \frac{d_1 - 2\sqrt{2}}{2}$ $3\sqrt{2} = \frac{d_1 - 2\sqrt{2}}{2}$ $6\sqrt{2} = d_1 - 2\sqrt{2}$ $d_1 = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

3. Теперь можем вычислить площадь диагонального сечения: $S_{сечения} = \frac{d_1 + d_2}{2} H = \frac{8\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot 6 = \frac{10\sqrt{2}}{2} \cdot 6 = 5\sqrt{2} \cdot 6 = 30\sqrt{2}$ см².

Ответ: $30\sqrt{2}$ см².

2.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)h_s$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_s$ — апофема (высота боковой грани).

В основании правильной треугольной пирамиды лежат равносторонние треугольники. Дано: стороны оснований $a_1 = 42$ см и $a_2 = 12$ см, высота пирамиды $H = 5$ см.

1. Найдём периметры оснований: $P_1 = 3a_1 = 3 \cdot 42 = 126$ см. $P_2 = 3a_2 = 3 \cdot 12 = 36$ см.

2. Найдём апофему $h_s$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой усечённой пирамиды $H$, апофемой $h_s$ и разностью радиусов вписанных в основания окружностей ($r_1 - r_2$).

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, равен $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Найдём радиусы для наших оснований: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{42}{2\sqrt{3}} = \frac{21}{\sqrt{3}} = 7\sqrt{3}$ см. $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора: $h_s^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$ $h_s^2 = 5^2 + (7\sqrt{3} - 2\sqrt{3})^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 25 \cdot 3 = 25 + 75 = 100$ $h_s = \sqrt{100} = 10$ см.

3. Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \frac{1}{2}(126 + 36) \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 162 \cdot 10 = 81 \cdot 10 = 810$ см².

Ответ: $810$ см².

3.

Условие, что все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны, позволяет использовать теорему о площади ортогональной проекции.

Проекцией боковой поверхности усечённой пирамиды на плоскость большего основания является кольцо, площадь которого равна разности площадей большего и меньшего оснований: $S_{проекции} = S_1 - S_2$

С другой стороны, площадь проекции связана с площадью самой поверхности через косинус угла между плоскостями (в данном случае, двугранного угла $\alpha$): $S_{проекции} = S_{бок} \cdot \cos \alpha$

Приравнивая два выражения для площади проекции, получаем формулу: $S_1 - S_2 = S_{бок} \cdot \cos \alpha$

Из условия задачи нам известны: $S_1 = 34$ см², $S_2 = 20$ см², $S_{бок} = 14\sqrt{2}$ см². Подставим эти значения в формулу: $34 - 20 = 14\sqrt{2} \cdot \cos \alpha$ $14 = 14\sqrt{2} \cdot \cos \alpha$

Выразим $\cos \alpha$: $\cos \alpha = \frac{14}{14\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдём угол $\alpha$: $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.