Номер 19, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 19

Призма

1. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, большее основание которой равно 20 см, а острый угол — 60°. Меньшее основание трапеции равно её боковой стороне. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°.

2. Основанием наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = AC = 17$ см, $BC = 30$ см. Боковое ребро призмы $AA_1$ образует с плоскостью основания угол 60°, а проекцией вершины $A_1$ на плоскость $ABC$ является середина медианы $AM$. Найдите площадь грани $BB_1 C_1 C$.

3. Основанием прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, $BC = AB = 15$ см, $AC = 18$ см. Боковое ребро призмы равно 8 см. Найдите угол между прямыми $CB_1$ и $BA_1$.

1.

Пусть основанием прямой призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ и меньшим $BC$. По условию, $AD = 20$ см, острый угол при основании $\angle A = \angle D = 60^{\circ}$. Меньшее основание равно боковой стороне, то есть $BC = AB = CD$. Обозначим эту длину как $c$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH$ равен $AH = AB \cos(\angle A) = c \cdot \cos(60^{\circ}) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}$.

Поскольку трапеция равнобокая, длина большего основания связана с меньшим и боковой стороной формулой $AD = BC + 2 \cdot AH$. Подставив наши значения, получаем: $20 = c + 2 \cdot \frac{c}{2} = c + c = 2c$. Отсюда находим $c=10$ см.

Таким образом, стороны трапеции равны: $AD=20$ см, $BC=10$ см, $AB=CD=10$ см.

Периметр основания $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = AD + BC + AB + CD = 20 + 10 + 10 + 10 = 50$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot H$, где $H$ – высота призмы (равная длине бокового ребра).

По условию, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. Пусть $A_1C$ - диагональ призмы. Ее проекцией на плоскость основания является диагональ трапеции $AC$. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания – это угол $\angle A_1CA = 45^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$ (он прямоугольный, так как призма прямая, и $AA_1 \perp AC$). Поскольку $\angle A_1CA = 45^{\circ}$, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны: $H = AA_1 = AC$.

Найдем длину диагонали основания $AC$. Проведем в трапеции высоту $CK=BH$. Длина $CK = AB \sin(60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см. Отрезок $AK = AD - KD = AD - AH = 20 - \frac{10}{2} = 15$ см.

В прямоугольном треугольнике $ACK$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AK^2 + CK^2 = 15^2 + (5\sqrt{3})^2 = 225 + 75 = 300$. $AC = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см.

Высота призмы $H = AC = 10\sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P \cdot H = 50 \cdot 10\sqrt{3} = 500\sqrt{3}$ см².

Ответ: $500\sqrt{3}$ см².

2.

Основанием наклонной призмы является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = AC = 17$ см, $BC = 30$ см. Проведем медиану $AM$ к стороне $BC$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, поэтому $AM \perp BC$.

Точка $M$ – середина $BC$, значит $BM = MC = \frac{30}{2} = 15$ см.

Из прямоугольного треугольника $AMB$ по теореме Пифагора найдем длину медианы $AM$: $AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17 - 15)(17 + 15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Пусть $O$ – проекция вершины $A_1$ на плоскость основания $ABC$. По условию, $O$ – середина медианы $AM$. Следовательно, $AO = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Угол между боковым ребром $AA_1$ и плоскостью основания – это угол $\angle A_1AO$, и он равен $60^{\circ}$. Треугольник $A_1OA$ – прямоугольный ($A_1O$ – перпендикуляр к плоскости). Найдем длину бокового ребра $l = AA_1$: $l = AA_1 = \frac{AO}{\cos(60^{\circ})} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Грань $BB_1C_1C$ является параллелограммом со сторонами $BC = 30$ см и $BB_1 = l = 8$ см. Чтобы найти ее площадь, нужно определить угол между сторонами $BC$ и $BB_1$.

Проекцией бокового ребра $BB_1$ на плоскость основания является вектор, равный вектору проекции ребра $AA_1$, то есть $\vec{AO}$. Вектор $\vec{AO}$ лежит на прямой $AM$.

Мы знаем, что $AM \perp BC$. Значит, проекция ребра $BB_1$ перпендикулярна стороне $BC$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($BB_1$) перпендикулярна прямой ($BC$) в плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $BB_1 \perp BC$.

Это означает, что грань $BB_1C_1C$ – прямоугольник.

Площадь грани $S_{BB_1C_1C}$ равна произведению ее сторон: $S_{BB_1C_1C} = BC \cdot BB_1 = 30 \cdot 8 = 240$ см².

Ответ: $240$ см².

3.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $CB_1$ и $BA_1$ воспользуемся методом координат.

Призма прямая, ее высота $H = 8$ см. Основание – равнобедренный треугольник $ABC$ с $BC = AB = 15$ см и $AC = 18$ см.

Разместим систему координат так, чтобы основание $ABC$ лежало в плоскости $Oxy$. Пусть середина стороны $AC$ совпадает с началом координат $O(0,0,0)$, а сама сторона $AC$ лежит на оси $Ox$. Тогда вершины $A$ и $C$ имеют координаты $A(-9, 0, 0)$ и $C(9, 0, 0)$.

Поскольку треугольник равнобедренный ($AB=BC$), его высота $BM$, опущенная на основание $AC$, будет проходить через середину $AC$, то есть через начало координат. Значит, вершина $B$ лежит на оси $Oy$. Найдем ее координату $y$. Длина высоты $BM$ из прямоугольного треугольника $ABM$: $BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$.

Таким образом, координаты вершин основания: $A(-9, 0, 0)$, $B(0, 12, 0)$, $C(9, 0, 0)$.

Призма прямая с высотой $H=8$, поэтому координаты вершин верхнего основания: $A_1(-9, 0, 8)$, $B_1(0, 12, 8)$, $C_1(9, 0, 8)$.

Найдем векторы, направляющие для прямых $CB_1$ и $BA_1$:

$\vec{v_1} = \vec{CB_1} = \{0-9; 12-0; 8-0\} = \{-9; 12; 8\}$.

$\vec{v_2} = \vec{BA_1} = \{-9-0; 0-12; 8-0\} = \{-9; -12; 8\}$.

Угол $\alpha$ между прямыми найдем через косинус угла между этими векторами: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-9) \cdot (-9) + 12 \cdot (-12) + 8 \cdot 8 = 81 - 144 + 64 = 1$.

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{v_1}| = \sqrt{(-9)^2 + 12^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 144 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

$|\vec{v_2}| = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 144 + 64} = \sqrt{289} = 17$.

Теперь найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{|1|}{17 \cdot 17} = \frac{1}{289}$.

Искомый угол равен $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{289}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{289}\right)$.