Номер 12, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 12

Теорема о трёх перпендикулярах

1. Сторона равностороннего треугольника равна 24 см. Через центр $O$ треугольника к его плоскости проведён перпендикуляр $OD$. Точка $D$ удалена от сторон треугольника на расстояние 7 см. Найдите отрезок $OD$.

2. Из точки $P$, не принадлежащей плоскости прямого угла $ABC$, проведены перпендикуляры $PE$ и $PF$ к его сторонам. Известно, что $PE = PF = 4$ см, $PB = 5$ см. Найдите расстояние от точки $P$ до плоскости $ABC$.

3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB : AD = 1 : 4$. На ребре $AD$ отметили точку $E$ так, что прямая $CE$ перпендикулярна прямой $D_1B$. Найдите отношение $AE : AD$.

1.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 24$ см. Центр треугольника $O$ является точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис. Из точки $O$ к плоскости треугольника проведен перпендикуляр $OD$, то есть $OD \perp (ABC)$.

Расстояние от точки $D$ до стороны треугольника — это длина наклонной, проведенной перпендикулярно к этой стороне. Пусть $H$ — середина стороны $AC$. Тогда $BH$ — высота и медиана треугольника $ABC$. Отрезок $OH$ является радиусом вписанной в треугольник окружности и перпендикулярен стороне $AC$ ($OH \perp AC$). Расстояние от точки $D$ до стороны $AC$ равно длине отрезка $DH$. По условию, $DH = 7$ см.

Рассмотрим треугольник $DOH$. Так как $OD \perp (ABC)$, а $OH$ лежит в плоскости $ABC$, то $OD \perp OH$. Следовательно, треугольник $DOH$ — прямоугольный.

По теореме о трёх перпендикулярах: так как прямая $OD$ (перпендикуляр) перпендикулярна плоскости $(ABC)$, $DH$ (наклонная) перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости, то и проекция $OH$ наклонной $DH$ на плоскость $(ABC)$ перпендикулярна прямой $AC$.

Найдём длину $OH$. Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности $r$ (которым и является отрезок $OH$) вычисляется по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ Подставим значение стороны $a = 24$ см: $OH = r = \frac{24}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $DOH$ по теореме Пифагора найдём катет $OD$: $DH^2 = OD^2 + OH^2$ $OD^2 = DH^2 - OH^2$ $OD^2 = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$ $OD = \sqrt{1} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

2.

Пусть $PH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $P$ на плоскость прямого угла $ABC$. Длина этого перпендикуляра $PH$ и есть искомое расстояние от точки $P$ до плоскости $ABC$.

По условию, $PE \perp BA$ и $PF \perp BC$. Отрезки $PE$ и $PF$ являются наклонными к плоскости $ABC$, а отрезки $HE$ и $HF$ — их проекциями на эту плоскость.

По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, то и её проекция перпендикулярна этой прямой. Следовательно: $HE \perp BA$ $HF \perp BC$

Рассмотрим четырёхугольник $BEHF$ в плоскости $ABC$. В нём $\angle EBF = 90^\circ$ (по условию), $\angle BEH = 90^\circ$ и $\angle BFH = 90^\circ$. Следовательно, $BEHF$ — прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle PHE$ и $\triangle PHF$ (углы при вершине $H$ прямые, так как $PH \perp (ABC)$). По теореме Пифагора: $PE^2 = PH^2 + HE^2$ $PF^2 = PH^2 + HF^2$

Так как по условию $PE = PF = 4$ см, то $PE^2 = PF^2$, и значит $PH^2 + HE^2 = PH^2 + HF^2$, откуда следует, что $HE = HF$. Поскольку $BEHF$ — прямоугольник, у которого смежные стороны $HE$ и $HF$ равны, то $BEHF$ — квадрат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle PHB$. По теореме Пифагора: $PB^2 = PH^2 + HB^2$

$HB$ — диагональ квадрата $BEHF$. Длина диагонали квадрата связана с его стороной ($HE$) соотношением $HB^2 = HE^2 + HF^2 = 2HE^2$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($PH^2$ и $HE^2$): 1) $PE^2 = PH^2 + HE^2 \implies 16 = PH^2 + HE^2$ 2) $PB^2 = PH^2 + HB^2 \implies 5^2 = PH^2 + 2HE^2 \implies 25 = PH^2 + 2HE^2$

Вычтем первое уравнение из второго: $(PH^2 + 2HE^2) - (PH^2 + HE^2) = 25 - 16$ $HE^2 = 9$

Подставим значение $HE^2$ в первое уравнение: $16 = PH^2 + 9$ $PH^2 = 16 - 9 = 7$ $PH = \sqrt{7}$ см.

Ответ: $\sqrt{7}$ см.

3.

Для решения задачи введём систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

Пусть $AB = k$. Тогда, согласно условию $AB:AD = 1:4$, имеем $AD = 4k$. Высоту параллелепипеда обозначим как $AA_1 = h$. Определим координаты нужных нам точек: $B = (k, 0, 0)$ $C = (k, 4k, 0)$ $D_1 = (0, 4k, h)$

Точка $E$ лежит на ребре $AD$, которое совпадает с осью $Oy$. Следовательно, её координаты $E = (0, y_E, 0)$, где $y_E$ — это и есть длина отрезка $AE$.

Найдём координаты векторов $\vec{CE}$ и $\vec{D_1B}$: $\vec{CE} = \{0 - k; y_E - 4k; 0 - 0\} = \{-k; y_E - 4k; 0\}$ $\vec{D_1B} = \{k - 0; 0 - 4k; 0 - h\} = \{k; -4k; -h\}$

По условию, прямая $CE$ перпендикулярна прямой $D_1B$. Это означает, что направляющие векторы этих прямых перпендикулярны, а их скалярное произведение равно нулю: $\vec{CE} \cdot \vec{D_1B} = 0$

Запишем скалярное произведение через координаты векторов: $(-k)(k) + (y_E - 4k)(-4k) + (0)(-h) = 0$ $-k^2 - 4ky_E + 16k^2 = 0$ $15k^2 - 4ky_E = 0$

Вынесем $k$ за скобки: $k(15k - 4y_E) = 0$

Так как $k$ — это длина ребра, $k \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $k$: $15k - 4y_E = 0$ $4y_E = 15k$ $y_E = \frac{15k}{4}$

Мы нашли, что $AE = y_E = \frac{15k}{4}$. Длина ребра $AD = 4k$. Теперь найдём искомое отношение: $\frac{AE}{AD} = \frac{\frac{15k}{4}}{4k} = \frac{15k}{4 \cdot 4k} = \frac{15k}{16k} = \frac{15}{16}$

Ответ: 15 : 16.