Номер 7, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование.

1. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются параллельными проекциями точек $A$, $B$ и $C$, лежащих на одной прямой (точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$). Найдите отрезок $A_1C_1$, если $BC = 10$ см, $B_1C_1 = AC = 25$ см.

2. Точки $D$, $P$, $F$ и $E$ принадлежат рёбрам $AB$, $AC$, $A_1B_1$ и $A_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ соответственно. Известно, что $AD : DB = AP : PC = 2 : 3$, $A_1F : FB_1 = A_1E : EC_1 = 4 : 1$. Какая геометрическая фигура является параллельной проекцией прямых $DP$ и $FE$ на плоскость $ABB_1$ в направлении прямой $CB_1$? Найдите отношение проекций отрезков $DP$ и $FE$.

3. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — параллельные проекции точек $A$, $B$, $C$ на плоскость $\alpha$ (рис. 44). Прямая $b_1$ принадлежит плоскости $\alpha$ и является проекцией прямой $b$, лежащей в плоскости $ABC$. Постройте прямую $b$.

Рис. 44

1.При параллельном проектировании точек, лежащих на одной прямой, на плоскость, сохраняется порядок их расположения и отношение длин отрезков, образованных этими точками.Поскольку точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$, то ее проекция $C_1$ будет лежать между проекциями $A_1$ и $B_1$.Свойство сохранения отношения длин отрезков для точек на одной прямой записывается так:$\frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1}$По условию задачи нам даны длины отрезков: $BC = 10$ см, $AC = 25$ см и $B_1C_1 = 25$ см. Подставим эти значения в формулу:$\frac{25}{10} = \frac{A_1C_1}{25}$Теперь выразим и найдем длину отрезка $A_1C_1$:$A_1C_1 = \frac{25}{10} \cdot 25 = 2.5 \cdot 25 = 62.5$ см.
Ответ: $A_1C_1 = 62.5$ см.

2.1. Определим, какой фигурой является проекция.В треугольнике $ABC$ точки $D$ и $P$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. По условию, отношение $AD : DB = 2 : 3$ и $AP : PC = 2 : 3$. Отсюда следует, что $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ и $\frac{AP}{AC} = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$. Так как $\frac{AD}{AB} = \frac{AP}{AC}$, то по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая $DP$ параллельна прямой $BC$ ($DP \parallel BC$).Аналогично в треугольнике $A_1B_1C_1$ точки $F$ и $E$ лежат на сторонах $A_1B_1$ и $A_1C_1$. По условию, $A_1F : FB_1 = 4 : 1$ и $A_1E : EC_1 = 4 : 1$. Следовательно, $\frac{A_1F}{A_1B_1} = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$ и $\frac{A_1E}{A_1C_1} = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$. Таким образом, прямая $FE$ параллельна прямой $B_1C_1$ ($FE \parallel B_1C_1$).В призме $ABCA_1B_1C_1$ основания параллельны, поэтому $BC \parallel B_1C_1$.Из этого следует, что $DP \parallel BC \parallel B_1C_1 \parallel FE$, то есть прямые $DP$ и $FE$ параллельны.При параллельном проектировании двух параллельных прямых на плоскость их проекциями будут либо две параллельные прямые, либо одна прямая. В общем случае, когда плоскость, содержащая исходные прямые, не параллельна направлению проектирования, проекцией будут две параллельные прямые.Таким образом, искомая геометрическая фигура — это две параллельные прямые.2. Найдем отношение проекций отрезков.При параллельном проектировании отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется. Это значит, что отношение длин проекций отрезков $DP$ и $FE$ равно отношению длин самих отрезков:$\frac{|DP_{проeкц}|}{|FE_{проeкц}|} = \frac{|DP|}{|FE|}$Из подобия треугольников $\triangle ADP$ и $\triangle ABC$ (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) следует:$\frac{|DP|}{|BC|} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5} \implies |DP| = \frac{2}{5}|BC|$Из подобия треугольников $\triangle A_1FE$ и $\triangle A_1B_1C_1$ следует:$\frac{|FE|}{|B_1C_1|} = \frac{A_1F}{A_1B_1} = \frac{4}{5} \implies |FE| = \frac{4}{5}|B_1C_1|$Так как в призме длины соответствующих сторон оснований равны, $|BC| = |B_1C_1|$.Найдем отношение длин отрезков $DP$ и $FE$:$\frac{|DP|}{|FE|} = \frac{\frac{2}{5}|BC|}{\frac{4}{5}|B_1C_1|} = \frac{2/5}{4/5} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$Следовательно, отношение их проекций также равно $1:2$.
Ответ: Параллельной проекцией прямых $DP$ и $FE$ являются две параллельные прямые. Отношение проекций отрезков $DP$ и $FE$ равно $1:2$.

3.Для построения прямой $b$ необходимо построить две ее точки. Прямая $b$ лежит в плоскости $ABC$. Ее проекцией является прямая $b_1$, лежащая в плоскости $\alpha$. Построение основано на свойстве параллельного проектирования: проекцией точки пересечения двух прямых является точка пересечения их проекций. Следовательно, чтобы найти точку на прямой $b$, можно найти точку пересечения ее проекции $b_1$ с проекцией какой-либо другой прямой, лежащей в плоскости $ABC$, а затем построить прообраз этой точки пересечения.Алгоритм построения прямой $b$:1. Найдем точку пересечения $P_1$ проекции $b_1$ с проекцией одной из сторон треугольника, например, с прямой $A_1C_1$. $P_1 = b_1 \cap A_1C_1$.2. Прообраз точки $P_1$, точка $P$, должен лежать на прообразе прямой $b_1$ (то есть на искомой прямой $b$) и на прообразе прямой $A_1C_1$ (то есть на прямой $AC$). Таким образом, $P = b \cap AC$. Для построения точки $P$ проведем через точку $P_1$ прямую, параллельную направлению проектирования (например, параллельную отрезку $AA_1$). Точка пересечения этой прямой с прямой $AC$ и будет точкой $P$.3. Для нахождения второй точки повторим процедуру. Найдем точку пересечения $Q_1$ прямой $b_1$ с проекцией другой стороны треугольника, например, с прямой $B_1C_1$. $Q_1 = b_1 \cap B_1C_1$.4. Прообраз точки $Q_1$, точка $Q$, лежит на прямой $b$ и на прямой $BC$ ($Q = b \cap BC$). Для построения точки $Q$ проведем через точку $Q_1$ прямую, параллельную направлению проектирования (например, $BB_1$). Точка пересечения этой прямой с прямой $BC$ и будет точкой $Q$.5. Проведем прямую через построенные точки $P$ и $Q$. Эта прямая и является искомой прямой $b$.
Ответ: Искомая прямая $b$ строится путем нахождения двух ее точек $P$ и $Q$. Точка $P$ находится как пересечение прямой $AC$ с прямой, проходящей через точку $P_1 = b_1 \cap A_1C_1$ параллельно $AA_1$. Точка $Q$ находится как пересечение прямой $BC$ с прямой, проходящей через точку $Q_1 = b_1 \cap B_1C_1$ параллельно $BB_1$. Прямая, проходящая через $P$ и $Q$, является искомой прямой $b$.