Номер 1, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 4

Самостоятельная работа № 1

Аксиомы стереометрии

1. Сколько плоскостей можно провести через точки D, E и F, если:

1) $DE = 12$ см, $DF = 15$ см, $EF = 27$ см;

2) $DE = 22$ см, $DF = 17$ см, $EF = 18$ см?

2. Вершина C треугольника ABC принадлежит плоскости $\alpha$, а вершины A и B ей не принадлежат. Продолжения медиан AM и BN треугольника ABC пересекают плоскость $\alpha$ в точках P и Q соответственно. Докажите, что точки C, P и Q лежат на одной прямой.

3. Точки касания вписанной окружности треугольника с его сторонами принадлежат плоскости $\alpha$. Принадлежат ли плоскости $\alpha$ вершины треугольника?

Для решения задачи 1 необходимо определить, лежат ли точки $D$, $E$ и $F$ на одной прямой (коллинеарны). Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Если же три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечно много плоскостей.

Три точки лежат на одной прямой, если длина одного из отрезков, соединяющих их, равна сумме длин двух других отрезков.

1) $DE = 12$ см, $DF = 15$ см, $EF = 27$ см

Проверим, выполняется ли равенство для данных длин:

$DE + DF = 12 + 15 = 27$ см.

Так как $DE + DF = EF$ ($27 \text{ см} = 27 \text{ см}$), точки $D$, $E$ и $F$ лежат на одной прямой. Через прямую можно провести бесконечное множество плоскостей.

Ответ: Бесконечно много.

2) $DE = 22$ см, $DF = 17$ см, $EF= 18$ см

Проверим, выполняется ли одно из равенств:

$DE + DF = 22 + 17 = 39 \neq 18$

$DE + EF = 22 + 18 = 40 \neq 17$

$DF + EF = 17 + 18 = 35 \neq 22$

Ни одно из равенств не выполняется, значит, точки $D$, $E$ и $F$ не лежат на одной прямой. Следовательно, через них можно провести только одну плоскость.

Ответ: Одну.

2.

Обозначим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, как плоскость $\beta$. Все элементы треугольника, включая его вершины $A, B, C$ и медианы $AM, BN$, лежат в этой плоскости $\beta$.

По условию, продолжение медианы $AM$ (прямая $AM$) пересекает плоскость $\alpha$ в точке $P$. Это означает, что точка $P$ принадлежит одновременно и прямой $AM$, и плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $AM$ полностью лежит в плоскости $\beta$, то точка $P$ также принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $P$ принадлежит линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Аналогично, продолжение медианы $BN$ (прямая $BN$) пересекает плоскость $\alpha$ в точке $Q$. Значит, точка $Q$ принадлежит одновременно и прямой $BN$, и плоскости $\alpha$. Так как прямая $BN$ лежит в плоскости $\beta$, то точка $Q$ также принадлежит плоскости $\beta$. Следовательно, точка $Q$ также лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

По условию, вершина $C$ принадлежит плоскости $\alpha$. Как вершина треугольника $ABC$, точка $C$ также принадлежит плоскости $\beta$. Таким образом, точка $C$ тоже лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Поскольку все три точки $C$, $P$ и $Q$ принадлежат одной и той же прямой (линии пересечения двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$), они являются коллинеарными, то есть лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.

Пусть $K, L, M$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $AB, BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. По условию задачи, точки $K, L, M$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Для любого невырожденного треугольника точки касания вписанной окружности с его сторонами не лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Таким образом, точки $K, L, M$ однозначно задают плоскость $\alpha$.

Рассмотрим плоскость $\beta$, в которой лежит треугольник $ABC$.

Точка $K$ лежит на стороне $AB$. Так как вся прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$, то точка $K$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Аналогично, точка $L$ лежит на стороне $BC$, следовательно, $L$ принадлежит плоскости $\beta$.

Точка $M$ лежит на стороне $AC$, следовательно, $M$ принадлежит плоскости $\beta$.

Таким образом, мы имеем три не коллинеарные точки $K, L, M$, которые одновременно принадлежат и плоскости $\alpha$ (по условию), и плоскости $\beta$. Поскольку через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость, это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают.

Вершины треугольника $A, B, C$ по определению лежат в плоскости $\beta$. Так как плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $\alpha$, то вершины $A, B, C$ также принадлежат плоскости $\alpha$.

Ответ: Да, принадлежат.