Номер 20, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 20

Параллелепипед

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 16 см, 13 см и 5 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 5 см и 8 см, а острый угол — $60^\circ$. Найдите меньшую диагональ параллелепипеда, если его высота равна 24 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны $15\text{ см}^2$ и $8\text{ см}^2$.

1. Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$, а его диагональ равна $d$.

По условию задачи, диагональ больше измерений на 16 см, 13 см и 5 см. Запишем это в виде системы уравнений:

$d = a + 16$

$d = b + 13$

$d = c + 5$

Выразим измерения $a, b, c$ через диагональ $d$:

$a = d - 16$

$b = d - 13$

$c = d - 5$

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим выражения для $a, b, c$ в эту формулу:

$d^2 = (d - 16)^2 + (d - 13)^2 + (d - 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$d^2 = (d^2 - 32d + 256) + (d^2 - 26d + 169) + (d^2 - 10d + 25)$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$d^2 = 3d^2 - 68d + 450$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2d^2 - 68d + 450 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$d^2 - 34d + 225 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 34, а произведение равно 225. Корнями являются числа 9 и 25.

Проверим оба корня. Измерения параллелепипеда должны быть положительными числами.

Если $d = 9$ см, то $a = 9 - 16 = -7$ см. Это значение невозможно, так как длина не может быть отрицательной.

Если $d = 25$ см, то:

$a = 25 - 16 = 9$ см

$b = 25 - 13 = 12$ см

$c = 25 - 5 = 20$ см

Все измерения положительны, следовательно, это решение является верным.

Ответ: 25 см.

2. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 5$ см и $b = 8$ см и острым углом $\alpha = 60°$. Высота параллелепипеда $h = 24$ см.

У параллелограмма в основании есть две диагонали: меньшая $d_1$ и большая $d_2$. Меньшая диагональ параллелограмма лежит напротив острого угла. Найдем ее длину по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

$d_1^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60°)$

Так как $\cos(60°) = 0.5$:

$d_1^2 = 25 + 64 - 80 \cdot 0.5 = 89 - 40 = 49$

$d_1 = \sqrt{49} = 7$ см.

Диагонали прямого параллелепипеда ($D$) связаны с его высотой ($h$) и диагоналями основания ($d$) соотношением $D^2 = h^2 + d^2$.

Меньшей диагонали параллелепипеда ($D_{min}$) соответствует меньшая диагональ основания ($d_1$).

Найдем квадрат меньшей диагонали параллелепипеда:

$D_{min}^2 = h^2 + d_1^2$

$D_{min}^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$

Тогда меньшая диагональ равна:

$D_{min} = \sqrt{625} = 25$ см.

Ответ: 25 см.

3. Основание прямого параллелепипеда — ромб. Пусть его диагонали равны $d_1$ и $d_2$, а сторона равна $a$. Высота параллелепипеда равна $h$.

Диагональные сечения прямого параллелепипеда — это прямоугольники. Их стороны — это диагонали основания и высота параллелепипеда. Площади этих сечений равны:

$S_1 = d_1 \cdot h = 15$ см²

$S_2 = d_2 \cdot h = 8$ см²

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ — периметр основания. Для ромба $P = 4a$. Таким образом, $S_{бок} = 4ah$.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Сторона ромба связана с его диагоналями по теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$

Из формул для площадей сечений выразим $d_1$ и $d_2$:

$d_1 = \frac{15}{h}$

$d_2 = \frac{8}{h}$

Подставим эти выражения в соотношение для стороны ромба:

$4a^2 = (\frac{15}{h})^2 + (\frac{8}{h})^2$

$4a^2 = \frac{225}{h^2} + \frac{64}{h^2}$

$4a^2 = \frac{289}{h^2}$

Умножим обе части уравнения на $h^2$:

$4a^2h^2 = 289$

$(2ah)^2 = 289$

Извлечем квадратный корень:

$2ah = \sqrt{289} = 17$

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 4ah = 2 \cdot (2ah) = 2 \cdot 17 = 34$ см².

Ответ: 34 см².