Номер 14, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 14

Двугранный угол. Угол между плоскостями

1. В гранях двугранного угла проведены прямые $b$ и $c$, параллельные его ребру, на расстоянии $2\sqrt{2}$ см и 4 см от него соответственно. Найдите величину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми $b$ и $c$ равно $2\sqrt{10}$ см.

2. Из точек $A$ и $B$, лежащих в разных гранях двугранного угла, величина которого равна $30^{\circ}$, проведены к его ребру перпендикуляры $AC$ и $BD$. Найдите отрезок $CD$, если $AC = \sqrt{3}$ см, $BD = 2$ см, $AB = \sqrt{17}$ см.

3. Через гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Катет $AC$ образует с плоскостью $\alpha$ угол $45^{\circ}$, а угол $ABC$ равен $60^{\circ}$. Найдите угол, который образует катет $BC$ с плоскостью $\alpha$.

1. Пусть дан двугранный угол с ребром $a$. В его гранях проведены прямые $b$ и $c$, параллельные ребру $a$. Расстояние от прямой $b$ до ребра $a$ равно $d_b = 2\sqrt{2}$ см, а расстояние от прямой $c$ до ребра $a$ равно $d_c = 4$ см. Расстояние между прямыми $b$ и $c$ равно $d_{bc} = 2\sqrt{10}$ см.
Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого выберем произвольную точку $O$ на ребре $a$ и проведем через нее плоскость, перпендикулярную ребру $a$. Эта плоскость пересечет грани двугранного угла по двум лучам, выходящим из точки $O$. Угол между этими лучами и будет искомым линейным углом $\phi$.
Так как прямые $b$ и $c$ параллельны ребру $a$, то построенная плоскость будет перпендикулярна и им. Пусть она пересекает прямую $b$ в точке $B$, а прямую $c$ в точке $C$.
По определению расстояния от точки до прямой, отрезки $OB$ и $OC$ перпендикулярны ребру $a$. Длины этих отрезков равны расстояниям от прямых $b$ и $c$ до ребра $a$ соответственно: $OB = d_b = 2\sqrt{2}$ см и $OC = d_c = 4$ см.
Отрезок $BC$ лежит в секущей плоскости и соединяет точки на прямых $b$ и $c$. Так как секущая плоскость перпендикулярна прямым $b$ и $c$, то отрезок $BC$ является общим перпендикуляром к этим прямым, и его длина равна расстоянию между ними: $BC = d_{bc} = 2\sqrt{10}$ см.
В результате мы получили треугольник $OBC$, в котором угол $\angle BOC$ равен искомому линейному углу $\phi$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:
$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\phi)$
Подставим известные значения:
$(2\sqrt{10})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos(\phi)$
$40 = 8 + 16 - 16\sqrt{2} \cos(\phi)$
$40 = 24 - 16\sqrt{2} \cos(\phi)$
$16 = -16\sqrt{2} \cos(\phi)$
$\cos(\phi) = -\frac{16}{16\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Отсюда находим угол $\phi$ (величина двугранного угла находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$):
$\phi = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ$
Ответ: $135^\circ$.

2. Пусть дан двугранный угол величиной $30^\circ$ с ребром $l$. Точка $A$ лежит в одной грани, точка $B$ — в другой. $AC$ и $BD$ — перпендикуляры к ребру $l$, где $C$ и $D$ — точки на ребре $l$. Из условия имеем: $AC = \sqrt{3}$ см, $BD = 2$ см, $AB = \sqrt{17}$ см. Требуется найти длину отрезка $CD$.
Выполним параллельный перенос отрезка $AC$ вдоль ребра $l$ так, чтобы точка $C$ совпала с точкой $D$. При этом точка $A$ перейдет в некоторую точку $A'$, и мы получим отрезок $A'D$, причем $A'D = AC = \sqrt{3}$ и $A'D \perp l$.
Теперь рассмотрим треугольник $A'DB$. Отрезки $A'D$ и $BD$ лежат в гранях двугранного угла и оба перпендикулярны ребру $l$ в точке $D$. Следовательно, угол $\angle A'DB$ является линейным углом двугранного угла, то есть $\angle A'DB = 30^\circ$.
Применим теорему косинусов к треугольнику $A'DB$, чтобы найти длину стороны $A'B$:
$A'B^2 = A'D^2 + BD^2 - 2 \cdot A'D \cdot BD \cdot \cos(30^\circ)$
$A'B^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$A'B^2 = 3 + 4 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$
$A'B = 1$ см.
Рассмотрим теперь треугольник $AA'B$. Отрезок $AA'$ представляет собой вектор переноса, который параллелен ребру $l$ и по длине равен $CD$. Плоскость, в которой лежит треугольник $A'DB$, перпендикулярна ребру $l$. Следовательно, прямая $AA'$ перпендикулярна этой плоскости, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $AA' \perp A'B$.
Таким образом, треугольник $AA'B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A'$. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AA'^2 + A'B^2$
Подставим известные значения: $AB^2 = (\sqrt{17})^2 = 17$, $A'B^2 = 1^2 = 1$, и $AA' = CD$.
$17 = CD^2 + 1$
$CD^2 = 16$
$CD = 4$ см.
Ответ: $4$ см.

3. Пусть $h$ — расстояние от вершины $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ до плоскости $\alpha$. Угол между прямой (катетом) и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.
Пусть $\phi_{AC}$ — угол между катетом $AC$ и плоскостью $\alpha$, а $\phi_{BC}$ — искомый угол между катетом $BC$ и плоскостью $\alpha$. По определению синуса угла между прямой и плоскостью:
$\sin(\phi_{AC}) = \frac{h}{AC}$
$\sin(\phi_{BC}) = \frac{h}{BC}$
Из первого уравнения, зная, что $\phi_{AC} = 45^\circ$, выразим $h$:
$h = AC \cdot \sin(45^\circ) = AC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
Приравняем два выражения для $h$:
$BC \cdot \sin(\phi_{BC}) = AC \cdot \sin(45^\circ)$
Отсюда выразим синус искомого угла:
$\sin(\phi_{BC}) = \frac{AC}{BC} \cdot \sin(45^\circ)$
Теперь найдем отношение катетов $\frac{AC}{BC}$ из прямоугольного треугольника $ABC$. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) нам дан угол $\angle ABC = 60^\circ$.
По определению тангенса:
$\tan(\angle ABC) = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \tan(60^\circ) = \frac{AC}{BC} = \sqrt{3}$
Подставим это значение в формулу для синуса:
$\sin(\phi_{BC}) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
Проверим значение $\frac{\sqrt{6}}{2}$. Так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то $\sqrt{6} \approx 2.45$, и $\frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1.225$.
Получили, что $\sin(\phi_{BC}) > 1$. Это невозможно, так как область значений функции синуса — отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно, геометрическая конфигурация с заданными в условии параметрами невозможна. В условии задачи содержится противоречие.
Ответ: Условие задачи некорректно, так как приводит к противоречию. Решения не существует.