Номер 7, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 7

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

1. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются параллельными проекциями

ями на плоскость $\alpha$ соответственно точек A, B и C, лежащих на одной прямой (точка B лежит между точками A и C). Найдите отрезок $B_1C_1$, если $AB = 4$ см,

$A_1B_1 = BC = 10$ см.

2. Точки E, P, N и D принадлежат рёбрам MA, MB, BC и

AC тетраэдра MABC соответственно. Известно, что

$ME : EA = MP : PB = 3 : 1$, $CN : NB = CD : DA = 2 : 5$.

Какая геометрическая фигура является параллельной

проекцией прямых PE и DN на плоскость AMC в направлении прямой BC? Найдите отношение проекций

отрезков PE и ND.

3. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — параллельные проекции точек

A, B, C на плоскость $\alpha$

(рис. 32). Прямая $a_1$ принадлежит плоскости $\alpha$ и является проекцией прямой

$a$, лежащей в плоскости

ABC. Постройте прямую $a$.

Рис. 32

1.

При параллельном проектировании отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется. Точки A, B, и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁, и C₁ являются их проекциями и, следовательно, также лежат на одной прямой.

По свойству параллельного проектирования, отношение длин отрезков AB и BC равно отношению длин их проекций A₁B₁ и B₁C₁:

$$ \frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1} $$

Подставим известные значения в формулу. Нам дано:

• $AB = 4$ см
• $BC = 10$ см
• $A_1B_1 = 10$ см

Получаем пропорцию:

$$ \frac{4}{10} = \frac{10}{B_1C_1} $$

Выразим из этой пропорции искомую длину отрезка B₁C₁:

$$ B_1C_1 = \frac{10 \cdot 10}{4} = \frac{100}{4} = 25 \text{ см} $$

Ответ: 25 см.

2.

Рассмотрим треугольник MAB. В нем точки E и P лежат на сторонах MA и MB соответственно. По условию, $ME : EA = MP : PB = 3 : 1$. Из этого следует, что $ME : MA = MP : MB = 3 : (3+1) = 3 : 4$. По обратной теореме Фалеса, прямая PE параллельна прямой AB ($PE \parallel AB$).

Рассмотрим треугольник ABC. В нем точки D и N лежат на сторонах AC и BC соответственно. По условию, $CD : DA = CN : NB = 2 : 5$. Из этого следует, что $CD : CA = CN : CB = 2 : (2+5) = 2 : 7$. По обратной теореме Фалеса, прямая DN параллельна прямой AB ($DN \parallel AB$).

Так как $PE \parallel AB$ и $DN \parallel AB$, то прямые PE и DN параллельны между собой ($PE \parallel DN$).

Теперь найдем проекции прямых PE и DN на плоскость AMC в направлении прямой BC.

Проекцией точки является точка пересечения прямой, проходящей через исходную точку параллельно направлению проектирования, с плоскостью проекции.

• Точки E и D лежат на ребрах MA и AC, которые принадлежат плоскости AMC. Следовательно, они проектируются сами в себя. Обозначим их проекции E' и D', тогда $E' = E$ и $D' = D$.
• Для нахождения проекции точки P (лежащей на MB), проведем через нее прямую, параллельную BC. Эта прямая лежит в плоскости MBC и пересечет ребро MC в некоторой точке P'. Таким образом, P' — проекция P. Из подобия треугольников MP'P и MCB следует, что $MP' : MC = MP : MB = 3 : 4$.
• Для нахождения проекции точки N (лежащей на BC), проведем через нее прямую, параллельную BC. Эта прямая совпадает с самой прямой BC. Прямая BC пересекает плоскость AMC в точке C. Следовательно, проекцией точки N является точка C. Обозначим ее проекцию N', тогда $N' = C$.

Таким образом, проекцией отрезка PE является отрезок E'P', то есть EP'. Проекцией отрезка DN является отрезок D'N', то есть DC.

В треугольнике MAC точки E и P' лежат на сторонах MA и MC, причем $ME : MA = MP' : MC = 3 : 4$. Следовательно, $EP' \parallel AC$. Прямая, содержащая отрезок DC, — это прямая AC. Таким образом, проекции прямых PE и DN — это две параллельные прямые.

Теперь найдем отношение длин проекций отрезков PE и ND, то есть отношение $EP' / DC$.

Из подобия треугольников MEP' и MAC ($k = 3/4$):

$$ EP' = \frac{3}{4} AC $$

Из условия $CD : DA = 2 : 5$ следует, что $AC = CD + DA = CD + \frac{5}{2}CD = \frac{7}{2}CD$, откуда:

$$ DC = \frac{2}{7} AC $$

Найдем искомое отношение:

$$ \frac{EP'}{DC} = \frac{\frac{3}{4} AC}{\frac{2}{7} AC} = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{2} = \frac{21}{8} $$

Ответ: Параллельной проекцией прямых PE и DN является пара параллельных прямых. Отношение длин проекций отрезков PE и ND равно 21:8.

3.

Для построения прямой $a$, лежащей в плоскости ABC, достаточно построить две ее точки. Построение основано на том, что прямая $a$ является прообразом прямой $a_1$ при параллельном проектировании.

Алгоритм построения:

1. Найти точку прямой $a$, лежащую в плоскости проекции $\alpha$.
   Эта точка является точкой пересечения прямой $a$ с плоскостью $\alpha$. При проектировании она переходит сама в себя, а значит, лежит и на проекции $a_1$. Следовательно, эта точка является общей для прямых $a$, $a_1$ и плоскости ABC. Для ее нахождения нужно найти линию пересечения плоскостей ABC и $\alpha$, а затем найти пересечение этой линии с прямой $a_1$.
   • Построим точку $X$ как пересечение прямых AB и $A_1B_1$ ($X = AB \cap A_1B_1$). Точка X принадлежит обеим плоскостям.
   • Построим точку $Y$ как пересечение прямых BC и $B_1C_1$ ($Y = BC \cap B_1C_1$). Точка Y также принадлежит обеим плоскостям.
   • Прямая $XY$ является линией пересечения плоскостей ABC и $\alpha$.
   • Найдем точку пересечения прямой $a_1$ с прямой $XY$. Обозначим эту точку $K$ ($K = a_1 \cap XY$). Точка $K$ — первая искомая точка прямой $a$.
2. Найти вторую точку прямой $a$.
   Для этого выберем на прямой $a_1$ любую удобную точку $P_1$ и найдем ее прообраз $P$ в плоскости ABC.
   • В качестве точки $P_1$ удобно взять точку пересечения прямой $a_1$ с одной из сторон проекции треугольника, например, $P_1 = a_1 \cap A_1C_1$.
   • Прообраз $P$ точки $P_1$ должен лежать на прообразе прямой $A_1C_1$, то есть на прямой AC.
   • По свойству параллельного проектирования, точка $P$ делит отрезок AC в том же отношении, в котором точка $P_1$ делит отрезок $A_1C_1$. То есть, $AP:PC = A_1P_1:P_1C_1$.
   • Построим на отрезке AC точку $P$, удовлетворяющую данной пропорции (например, с помощью теоремы Фалеса). Точка $P$ — вторая искомая точка прямой $a$.
3. Построить прямую $a$.
   Провести прямую через построенные точки $K$ и $P$. Эта прямая и будет искомой прямой $a$.

Ответ: Прямая $a$ строится как прямая, проходящая через две точки: 1) точку пересечения ее проекции $a_1$ с линией пересечения плоскостей ABC и $\alpha$; 2) точку на одной из сторон треугольника ABC (например, AC), которая является прообразом точки пересечения $a_1$ с соответствующей стороной проекции треугольника (например, $A_1C_1$) и делит ее в том же отношении.