Номер 4, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 4

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости треугольника. Через точку $A$ проведена прямая $b$, параллельная высоте $CH$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся.

2. На отрезке $MK$, который не пересекает плоскость $\gamma$, отметили точку $P$. Через точки $M$, $K$ и $P$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\gamma$ в точках $M_1$, $K_1$ и $P_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $M_1$, $K_1$ и $P_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $PK$, если $MP = 24$ см, $M_1 P_1 = 6$ см, $P_1 K_1 = 8$ см.

3. Точка $P$ принадлежит грани $BB_1 C_1 C$ куба $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 28). Через точку $P$ провели прямую, параллельную прямой $AC$. Постройте точку пересечения этой прямой с плоскостью $AA_1 B$.

Рис. 28

Докажем от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не являются скрещивающимися. Тогда они либо параллельны, либо пересекаются.

1. Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). По условию, прямая $b$ параллельна высоте $CH$ ($b \parallel CH$). Из этого следует, что $a \parallel CH$ (по свойству транзитивности параллельных прямых). Прямая $a$ проходит через точку $B$, которая лежит в плоскости треугольника $(ABC)$. Прямая $CH$ также лежит в плоскости $(ABC)$. Если прямая $a$, проходящая через точку $B$ плоскости $(ABC)$, параллельна прямой $CH$, лежащей в той же плоскости, то и сама прямая $a$ должна лежать в плоскости $(ABC)$. Это противоречит условию, что прямая $a$ не принадлежит плоскости треугольника. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельными.

2. Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $K$. Прямая $b$ проходит через точку $A$ и параллельна прямой $CH$, которая лежит в плоскости $(ABC)$. Это означает, что прямая $b$ также лежит в плоскости $(ABC)$. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то точка их пересечения $K$ должна принадлежать обеим прямым. Так как прямая $b$ лежит в плоскости $(ABC)$, то и точка $K$ должна лежать в плоскости $(ABC)$. По условию, прямая $a$ не принадлежит плоскости $(ABC)$ и проходит через вершину $B$, которая лежит в этой плоскости. Это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $(ABC)$ только в одной точке – точке $B$. Следовательно, если точка пересечения $K$ существует, то $K$ должна совпадать с $B$. Но прямая $b$ проходит через точку $A$. Если бы она проходила и через точку $B$, то она бы совпадала с прямой $AB$. В этом случае $AB \parallel CH$. Но $CH$ — это высота, опущенная на сторону $AB$ (или ее продолжение), а значит $CH \perp AB$. Прямые не могут быть одновременно параллельными и перпендикулярными. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

Так как прямые $a$ и $b$ не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.
Ответ: Доказано.

1) Рассмотрим две параллельные прямые $MM_1$ и $KK_1$. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Назовем ее $\beta$. Все точки $M, M_1, K, K_1$ лежат в этой плоскости $\beta$. По условию, точка $P$ лежит на отрезке $MK$. Следовательно, точка $P$ также лежит в плоскости $\beta$. Прямая $PP_1$ проходит через точку $P \in \beta$ и параллельна прямой $MM_1 \subset \beta$. По признаку параллельности прямой и плоскости (если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости) или, в данном случае, по свойству построения, прямая $PP_1$ также лежит в плоскости $\beta$. Таким образом, все точки $M_1, K_1, P_1$ лежат в плоскости $\beta$. Также, по условию, все эти точки лежат в плоскости $\gamma$. Поскольку точки $M_1, K_1, P_1$ принадлежат одновременно двум плоскостям $\beta$ и $\gamma$, они лежат на прямой пересечения этих плоскостей. Следовательно, точки $M_1, K_1, P_1$ лежат на одной прямой.
Ответ: Доказано.

2) В плоскости $\beta$ рассмотрим фигуру $MKK_1M_1$. Так как $MM_1 \parallel KK_1$, эта фигура является трапецией (или параллелограммом). Прямые $MM_1, PP_1, KK_1$ параллельны между собой. Они пересекают две прямые $MK$ и $M_1K_1$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Следовательно, выполняется соотношение: $ \frac{MP}{PK} = \frac{M_1P_1}{P_1K_1} $ Подставим известные значения: $ \frac{24}{PK} = \frac{6}{8} $ Отсюда найдем $PK$: $ PK = \frac{24 \cdot 8}{6} = 4 \cdot 8 = 32 $ см.
Ответ: $PK = 32$ см.

Для построения точки пересечения прямой, проходящей через точку $P$ параллельно $AC$, с плоскостью $AA_1B$, выполним следующие шаги:

1. Построим плоскость $\alpha$, которая проходит через точку $P$ и параллельна плоскости основания $ABC$. Для этого в плоскости грани $BB_1C_1C$ через точку $P$ проведем прямую, параллельную ребру $BC$. Точку пересечения этой прямой с ребром $BB_1$ обозначим $M$.
2. Теперь найдем линию пересечения построенной плоскости $\alpha$ с искомой плоскостью $AA_1B$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $ABC$, то линия их пересечения с третьей плоскостью ($AA_1B$) будут параллельны. Прямая пересечения плоскостей $ABC$ и $AA_1B$ - это ребро $AB$. Следовательно, искомая линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $AA_1B$ будет проходить через их общую точку $M$ параллельно $AB$. Проведем в плоскости грани $AA_1B_1B$ прямую $m$ через точку $M$ параллельно $AB$.
3. Прямая, о которой говорится в условии (назовем ее $l$), проходит через точку $P$ и параллельна $AC$. Так как $P \in \alpha$ и $AC \parallel \alpha$, то вся прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$.
4. Искомая точка является точкой пересечения прямой $l$ и плоскости $AA_1B$. Так как $l \subset \alpha$, эта точка должна лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $AA_1B$, то есть на прямой $m$.
5. Таким образом, искомая точка – это точка пересечения прямых $l$ и $m$, лежащих в одной плоскости $\alpha$. Чтобы найти ее, в плоскости $\alpha$ проведем через точку $P$ прямую $l$ параллельно $AC$. Точка, в которой эта прямая $l$ пересечет прямую $m$, и будет искомой точкой пересечения.

Ответ: Построение описано в решении.