Страница 29 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Пространственные фигуры.

Начальные сведения о многогранниках

1. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 25). Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$, точка $K$ — ребру $CC_1$. Постройте прямую пересечения плоскостей $ABC$ и $MB_1K$.

2. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 26) плоскостью, проходящей через точки $D, E$ и $F$, принадлежащие рёбрам $SA, SB$ и $BC$ соответственно.

3. Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 27) плоскостью, проходящей через вершины $A$ и $D$ и точку $M$, принадлежащую грани $BB_1C_1C$.

1.

Для построения прямой пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(MB_1K)$ необходимо найти две общие точки этих плоскостей. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой прямой пересечения.

Построение:

1. Найдем первую общую точку. Прямая $MB_1$ лежит в секущей плоскости $(MB_1K)$. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания $(ABC)$. Обе эти прямые, $MB_1$ и $AB$, лежат в одной плоскости боковой грани $(AA_1B_1B)$. Так как прямые $MB_1$ и $AB$ не параллельны (по условию и рисунку), они пересекаются. Продлим отрезки $MB_1$ и $AB$ до их пересечения в точке $P$.
   $P = MB_1 \cap AB$.
   Так как точка $P$ принадлежит прямой $AB$, то $P$ лежит в плоскости $(ABC)$.
   Так как точка $P$ принадлежит прямой $MB_1$, то $P$ лежит в плоскости $(MB_1K)$.
   Следовательно, точка $P$ — одна из точек искомой прямой пересечения.
2. Найдем вторую общую точку. Прямая $KB_1$ лежит в секущей плоскости $(MB_1K)$. Прямая $BC$ лежит в плоскости основания $(ABC)$. Обе эти прямые, $KB_1$ и $BC$, лежат в одной плоскости боковой грани $(BB_1C_1C)$. Они не параллельны, значит, пересекаются. Продлим отрезки $KB_1$ и $BC$ до их пересечения в точке $Q$.
   $Q = KB_1 \cap BC$.
   Так как точка $Q$ принадлежит прямой $BC$, то $Q$ лежит в плоскости $(ABC)$.
   Так как точка $Q$ принадлежит прямой $KB_1$, то $Q$ лежит в плоскости $(MB_1K)$.
   Следовательно, точка $Q$ — вторая точка прямой пересечения.
3. Соединив точки $P$ и $Q$, получим прямую $PQ$, которая является линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(MB_1K)$.

Ответ: Искомая прямая пересечения — это прямая $PQ$, где $P$ — точка пересечения прямых $MB_1$ и $AB$, а $Q$ — точка пересечения прямых $KB_1$ и $BC$.

2.

Для построения сечения тетраэдра $SABC$ плоскостью, проходящей через точки $D$, $E$, $F$, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра и соединить их отрезками, лежащими на гранях тетраэдра.

Построение:

1. Точки $D$ и $E$ лежат на ребрах $SA$ и $SB$ соответственно, которые принадлежат грани $(SAB)$. Следовательно, отрезок $DE$ является стороной искомого сечения и лежит на грани $(SAB)$.
2. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах $SB$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат грани $(SBC)$. Следовательно, отрезок $EF$ является стороной искомого сечения и лежит на грани $(SBC)$.
3. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся методом следов. Найдем след секущей плоскости $(DEF)$ на плоскости основания $(ABC)$.
   В плоскости грани $(SAB)$ прямые $DE$ и $AB$ не параллельны. Продлим их до пересечения в точке $P$: $P = DE \cap AB$.
   Точка $P$ принадлежит прямой $DE$, а значит, и секущей плоскости $(DEF)$.
   Точка $P$ принадлежит прямой $AB$, а значит, и плоскости основания $(ABC)$.
   Точка $F$ по условию принадлежит секущей плоскости $(DEF)$ и плоскости основания $(ABC)$ (так как $F \in BC$).
   Следовательно, прямая $PF$ является следом секущей плоскости $(DEF)$ на плоскости основания $(ABC)$.
4. Найдем точку пересечения следа $PF$ с ребром $AC$. Пусть $G = PF \cap AC$. Точка $G$ является четвертой вершиной сечения.
5. Соединим полученные вершины сечения:
   • $DE$ — на грани $(SAB)$.
   • $EF$ — на грани $(SBC)$.
   • $FG$ — на грани $(ABC)$.
   • $GD$ — на грани $(SAC)$ (точки $G$ и $D$ лежат в плоскости этой грани).

Искомое сечение — четырехугольник $DEFG$.

Ответ: Сечением является четырехугольник $DEFG$, где точка $G$ — это точка пересечения прямой $AC$ с прямой $PF$, а $P$ — точка пересечения прямых $DE$ и $AB$.

3.

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $D$ и точку $M$ на грани $BB_1C_1C$, воспользуемся свойством параллельности плоскостей.

Построение:

1. Точки $A$ и $D$ являются вершинами призмы и лежат в плоскости нижнего основания $(ABCD)$. Следовательно, отрезок $AD$ (ребро призмы) является стороной искомого сечения и лежит на грани $(ABCD)$.
2. Грани $(ADD_1A_1)$ и $(BCC_1B_1)$ призмы параллельны. По свойству: если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.
3. Секущая плоскость $(ADM)$ пересекает грань $(ADD_1A_1)$ по прямой, содержащей отрезок $AD$. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с параллельной гранью $(BCC_1B_1)$ должна быть параллельна прямой $AD$.
4. Точка $M$ принадлежит секущей плоскости и грани $(BCC_1B_1)$. Проведем через точку $M$ в плоскости грани $(BCC_1B_1)$ прямую, параллельную $AD$. Так как в призме $AD \parallel BC$, эта прямая будет также параллельна $BC$.
5. Пусть эта прямая пересекает ребра $BB_1$ и $CC_1$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Тогда отрезок $PQ$ — это сторона сечения, лежащая на грани $(BCC_1B_1)$.
6. Теперь соединим последовательно все полученные вершины сечения, лежащие на гранях призмы:
   • $A$ и $P$ лежат на грани $(AA_1B_1B)$, соединяем их отрезком $AP$.
   • $D$ и $Q$ лежат на грани $(DD_1C_1C)$, соединяем их отрезком $DQ$.

Полученный четырехугольник $APQD$ является искомым сечением. Так как мы строили $PQ \parallel AD$, то это сечение является трапецией.

Ответ: Искомое сечение — трапеция $APQD$, где точки $P$ и $Q$ получены в результате пересечения ребер $BB_1$ и $CC_1$ прямой, проведенной через точку $M$ в плоскости грани $(BCC_1B_1)$ параллельно ребру $AD$.

Самостоятельная работа № 4

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости треугольника. Через точку $A$ проведена прямая $b$, параллельная высоте $CH$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся.

2. На отрезке $MK$, который не пересекает плоскость $\gamma$, отметили точку $P$. Через точки $M$, $K$ и $P$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\gamma$ в точках $M_1$, $K_1$ и $P_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $M_1$, $K_1$ и $P_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $PK$, если $MP = 24$ см, $M_1 P_1 = 6$ см, $P_1 K_1 = 8$ см.

3. Точка $P$ принадлежит грани $BB_1 C_1 C$ куба $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 28). Через точку $P$ провели прямую, параллельную прямой $AC$. Постройте точку пересечения этой прямой с плоскостью $AA_1 B$.

Рис. 28

Докажем от противного. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не являются скрещивающимися. Тогда они либо параллельны, либо пересекаются.

1. Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). По условию, прямая $b$ параллельна высоте $CH$ ($b \parallel CH$). Из этого следует, что $a \parallel CH$ (по свойству транзитивности параллельных прямых). Прямая $a$ проходит через точку $B$, которая лежит в плоскости треугольника $(ABC)$. Прямая $CH$ также лежит в плоскости $(ABC)$. Если прямая $a$, проходящая через точку $B$ плоскости $(ABC)$, параллельна прямой $CH$, лежащей в той же плоскости, то и сама прямая $a$ должна лежать в плоскости $(ABC)$. Это противоречит условию, что прямая $a$ не принадлежит плоскости треугольника. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельными.

2. Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $K$. Прямая $b$ проходит через точку $A$ и параллельна прямой $CH$, которая лежит в плоскости $(ABC)$. Это означает, что прямая $b$ также лежит в плоскости $(ABC)$. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то точка их пересечения $K$ должна принадлежать обеим прямым. Так как прямая $b$ лежит в плоскости $(ABC)$, то и точка $K$ должна лежать в плоскости $(ABC)$. По условию, прямая $a$ не принадлежит плоскости $(ABC)$ и проходит через вершину $B$, которая лежит в этой плоскости. Это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $(ABC)$ только в одной точке – точке $B$. Следовательно, если точка пересечения $K$ существует, то $K$ должна совпадать с $B$. Но прямая $b$ проходит через точку $A$. Если бы она проходила и через точку $B$, то она бы совпадала с прямой $AB$. В этом случае $AB \parallel CH$. Но $CH$ — это высота, опущенная на сторону $AB$ (или ее продолжение), а значит $CH \perp AB$. Прямые не могут быть одновременно параллельными и перпендикулярными. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

Так как прямые $a$ и $b$ не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.
Ответ: Доказано.

1) Рассмотрим две параллельные прямые $MM_1$ и $KK_1$. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Назовем ее $\beta$. Все точки $M, M_1, K, K_1$ лежат в этой плоскости $\beta$. По условию, точка $P$ лежит на отрезке $MK$. Следовательно, точка $P$ также лежит в плоскости $\beta$. Прямая $PP_1$ проходит через точку $P \in \beta$ и параллельна прямой $MM_1 \subset \beta$. По признаку параллельности прямой и плоскости (если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости) или, в данном случае, по свойству построения, прямая $PP_1$ также лежит в плоскости $\beta$. Таким образом, все точки $M_1, K_1, P_1$ лежат в плоскости $\beta$. Также, по условию, все эти точки лежат в плоскости $\gamma$. Поскольку точки $M_1, K_1, P_1$ принадлежат одновременно двум плоскостям $\beta$ и $\gamma$, они лежат на прямой пересечения этих плоскостей. Следовательно, точки $M_1, K_1, P_1$ лежат на одной прямой.
Ответ: Доказано.

2) В плоскости $\beta$ рассмотрим фигуру $MKK_1M_1$. Так как $MM_1 \parallel KK_1$, эта фигура является трапецией (или параллелограммом). Прямые $MM_1, PP_1, KK_1$ параллельны между собой. Они пересекают две прямые $MK$ и $M_1K_1$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Следовательно, выполняется соотношение: $ \frac{MP}{PK} = \frac{M_1P_1}{P_1K_1} $ Подставим известные значения: $ \frac{24}{PK} = \frac{6}{8} $ Отсюда найдем $PK$: $ PK = \frac{24 \cdot 8}{6} = 4 \cdot 8 = 32 $ см.
Ответ: $PK = 32$ см.

Для построения точки пересечения прямой, проходящей через точку $P$ параллельно $AC$, с плоскостью $AA_1B$, выполним следующие шаги:

1. Построим плоскость $\alpha$, которая проходит через точку $P$ и параллельна плоскости основания $ABC$. Для этого в плоскости грани $BB_1C_1C$ через точку $P$ проведем прямую, параллельную ребру $BC$. Точку пересечения этой прямой с ребром $BB_1$ обозначим $M$.
2. Теперь найдем линию пересечения построенной плоскости $\alpha$ с искомой плоскостью $AA_1B$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $ABC$, то линия их пересечения с третьей плоскостью ($AA_1B$) будут параллельны. Прямая пересечения плоскостей $ABC$ и $AA_1B$ - это ребро $AB$. Следовательно, искомая линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $AA_1B$ будет проходить через их общую точку $M$ параллельно $AB$. Проведем в плоскости грани $AA_1B_1B$ прямую $m$ через точку $M$ параллельно $AB$.
3. Прямая, о которой говорится в условии (назовем ее $l$), проходит через точку $P$ и параллельна $AC$. Так как $P \in \alpha$ и $AC \parallel \alpha$, то вся прямая $l$ лежит в плоскости $\alpha$.
4. Искомая точка является точкой пересечения прямой $l$ и плоскости $AA_1B$. Так как $l \subset \alpha$, эта точка должна лежать на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $AA_1B$, то есть на прямой $m$.
5. Таким образом, искомая точка – это точка пересечения прямых $l$ и $m$, лежащих в одной плоскости $\alpha$. Чтобы найти ее, в плоскости $\alpha$ проведем через точку $P$ прямую $l$ параллельно $AC$. Точка, в которой эта прямая $l$ пересечет прямую $m$, и будет искомой точкой пересечения.

Ответ: Построение описано в решении.