Страница 30 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 5

Параллельность прямой и плоскости

1. Отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$ (рис. 29). Вне плоскости треугольника выбрали точку $D$. На отрезке $MD$ отметили точку $E$ так, что $ME : ED = 5 : 2$. Постройте точку $F$ пересечения плоскости $BEC$ и прямой $DN$ и найдите длину отрезка $EF$, если $BC = 35$ см.

Рис. 29

2. На ребре $BB_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили точку $P$ так, что $BP : PB_1 = 2 : 1$. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной медиане $AK$ треугольника $ABC$ и проходящей через точки $C$ и $P$. В каком отношении эта плоскость делит ребро $BB_1$?

3. Трапеция $ABCD$ является основанием пирамиды $SABCD$ ($AD \parallel BC$). Известно, что $BC : AD = 1 : 2$. Точки $P$ и $F$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. В каком отношении плоскость $DPF$ делит ребро $SC$?

1.

Построение точки F.
Точка F является точкой пересечения прямой DN и плоскости BEC.

1. Прямая DN лежит в плоскости (ADC), так как точки D и N (N лежит на AC) принадлежат этой плоскости.
2. Плоскость (BEC) пересекает плоскость (ADC) по некоторой прямой. Для построения этой прямой найдем две их общие точки.
3. Одна общая точка — C, так как она принадлежит обеим плоскостям.
4. Для нахождения второй общей точки рассмотрим плоскость (ABD). В ней лежат прямые AD и BE. Найдем точку их пересечения: K = AD ∩ BE. Точка K лежит на прямой AD, следовательно, K принадлежит плоскости (ADC). Точка K лежит на прямой BE, следовательно, K принадлежит плоскости (BEC). Таким образом, K — вторая общая точка.
5. Прямая CK является линией пересечения плоскостей (ADC) и (BEC).
6. Так как прямая DN лежит в плоскости (ADC), а искомая точка F лежит и на прямой DN, и в плоскости (BEC), то точка F должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой CK.
7. Таким образом, точка F является точкой пересечения прямых DN и CK. F = DN ∩ CK. Построение завершено.

Нахождение длины отрезка EF.
Рассмотрим треугольник DMN. Точки E и F лежат на его сторонах DM и DN соответственно. Чтобы найти длину EF, найдем, в каком отношении эти точки делят стороны.

1. По условию, ME : ED = 5 : 2. Отсюда следует, что $\frac{DE}{DM} = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$.
2. Для нахождения отношения, в котором точка F делит сторону DN, воспользуемся теоремой Менелая.
3. Рассмотрим треугольник ADM и секущую KEB. По теореме Менелая: $\frac{AK}{KD} \cdot \frac{DE}{EM} \cdot \frac{MB}{BA} = 1$.
   Так как M — середина AB, то MB = $\frac{1}{2}$AB, значит $\frac{MB}{AB} = \frac{1}{2}$.
   Из условия $\frac{DE}{EM} = \frac{2}{5}$.
   Подставляем значения в формулу: $\frac{AK}{KD} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies \frac{AK}{KD} \cdot \frac{1}{5} = 1 \implies \frac{AK}{KD} = 5$.
4. Теперь рассмотрим треугольник ADN и секущую KFC. По теореме Менелая: $\frac{AK}{KD} \cdot \frac{DF}{FN} \cdot \frac{NC}{CA} = 1$.
   Так как N — середина AC, то NC = $\frac{1}{2}$AC, значит $\frac{NC}{AC} = \frac{1}{2}$.
   Мы нашли, что $\frac{AK}{KD} = 5$.
   Подставляем значения: $5 \cdot \frac{DF}{FN} \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies \frac{DF}{FN} = \frac{2}{5}$.
5. Из отношения DF : FN = 2 : 5 следует, что $\frac{DF}{DN} = \frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}$.
6. В треугольнике DMN имеем $\frac{DE}{DM} = \frac{2}{7}$ и $\frac{DF}{DN} = \frac{2}{7}$. Так как эти отношения равны, по теореме, обратной теореме Фалеса, прямая EF параллельна стороне MN (EF || MN).
7. Следовательно, треугольник DEF подобен треугольнику DMN с коэффициентом подобия $k = \frac{DE}{DM} = \frac{2}{7}$.
8. Отношение сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия: $\frac{EF}{MN} = \frac{2}{7}$. Отсюда $EF = \frac{2}{7} MN$.
9. MN — средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии, $MN = \frac{1}{2} BC$. По условию BC = 35 см, значит $MN = \frac{1}{2} \cdot 35 = 17.5$ см.
10. Находим EF: $EF = \frac{2}{7} \cdot 17.5 = \frac{2}{7} \cdot \frac{35}{2} = 5$ см.

Ответ: EF = 5 см.

2.

Построение сечения.
Пусть $\beta$ — плоскость сечения. По условию, плоскость $\beta$ проходит через точки C и P, и параллельна медиане AK.

1. В плоскости основания (ABC) проведем через точку C прямую $l$, параллельную AK. Прямая $l$ лежит в плоскости сечения $\beta$.
2. Найдем точку пересечения прямой $l$ с прямой AB. Обозначим эту точку L.
3. В плоскости боковой грани (ABB₁A₁) соединим точки L и P. Прямая LP лежит в плоскости сечения.
4. Плоскость сечения пересекает ребро AA₁ в некоторой точке M. Точка M является точкой пересечения прямой LP и ребра AA₁.
5. Вершинами сечения являются точки пересечения плоскости $\beta$ с ребрами призмы. Это точки C, P и M. Таким образом, искомое сечение — треугольник CMP. (Расчеты показывают, что точка M делит ребро AA₁ в отношении AM : MA₁ = 1 : 2).

Нахождение отношения, в котором плоскость делит ребро BB₁.
В условии задачи сказано, что плоскость сечения проходит через точку P, которая лежит на ребре BB₁. Следовательно, плоскость сечения пересекает ребро BB₁ именно в точке P. Отношение, в котором точка P делит ребро BB₁, дано в условии: BP : PB₁ = 2 : 1.

Ответ: Плоскость сечения делит ребро BB₁ в отношении 2 : 1, считая от вершины B.

3.

Пусть Q — точка пересечения плоскости (DPF) с ребром SC. Необходимо найти отношение SQ : QC.

1. Рассмотрим плоскость (SAB). Так как P и F — середины ребер SA и SB соответственно, то PF является средней линией треугольника SAB. Следовательно, прямая PF параллельна прямой AB (PF || AB).
2. Плоскость (DPF) содержит прямую PF, а плоскость основания (ABCD) содержит прямую AB. Так как PF || AB, то линия пересечения плоскости (DPF) с плоскостью (ABCD) должна быть параллельна AB.
3. Поскольку точка D принадлежит и плоскости (DPF), и плоскости основания, эта линия пересечения проходит через точку D. Проведем в плоскости основания прямую через точку D параллельно AB. Пусть эта прямая пересекает прямую BC в точке K.
4. Четырехугольник ABKD является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны (AB || DK по построению, AD || BK так как AD || BC). Отсюда следует, что вектор $\vec{AD} = \vec{BK}$.
5. По условию, AD || BC и BC : AD = 1 : 2. Это означает, что $\vec{AD} = 2\vec{BC}$ (если векторы сонаправлены).
6. Из двух предыдущих пунктов получаем $\vec{BK} = 2\vec{BC}$. Это означает, что точка C является серединой отрезка BK. Следовательно, BC = CK, и $BK = BC + CK = 2CK$. Отношение длин отрезков $\frac{BK}{KC} = \frac{2CK}{CK} = 2$.
7. Теперь найдем точку Q. Плоскость сечения (DPF), которая также является плоскостью (DPFK), пересекает плоскость грани (SBC). Линия пересечения этих плоскостей проходит через точки F и K, так как обе точки лежат в обеих плоскостях.
8. Точка Q является точкой пересечения ребра SC с плоскостью сечения. Так как ребро SC лежит в плоскости (SBC), то Q является точкой пересечения прямой SC и линии пересечения FK. То есть Q = SC ∩ FK.
9. Для нахождения отношения SQ : QC рассмотрим треугольник SBC и секущую FQK. По теореме Менелая: $\frac{SF}{FB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CQ}{QS} = 1$.
10. F — середина SB, поэтому $\frac{SF}{FB} = 1$.
11. Мы нашли, что $\frac{BK}{KC} = 2$.
12. Подставляем известные значения в уравнение: $1 \cdot 2 \cdot \frac{CQ}{QS} = 1$.
13. Отсюда получаем $\frac{CQ}{QS} = \frac{1}{2}$.
14. Следовательно, искомое отношение $\frac{SQ}{QC} = \frac{2}{1}$.

Ответ: Плоскость DPF делит ребро SC в отношении 2 : 1, считая от вершины S.