Страница 28 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 3

Самостоятельная работа № 1

Аксиомы стереометрии

1. Сколько плоскостей можно провести через точки P, O и D, если:

1) $PO = 12 \text{ см}$, $PD = 21 \text{ см}$, $OD = 17 \text{ см}$;

2) $PO = 10 \text{ см}$, $PD = 34 \text{ см}$, $OD = 24 \text{ см}$?

2. Вершина A треугольника ABC принадлежит плоскости α, а вершины B и C ей не принадлежат. Прямая BC пересекает плоскость α в точке D, а продолжение медианы CM — в точке N. Докажите, что точки A, D и N лежат на одной прямой.

3. Основания высот остроугольного треугольника принадлежат плоскости α. Принадлежат ли плоскости α вершины треугольника?

1.

Количество плоскостей, которые можно провести через три точки, зависит от их взаимного расположения. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Если же три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечно много плоскостей.

Чтобы определить, лежат ли точки на одной прямой, нужно проверить, выполняется ли для них неравенство треугольника. Если сумма длин двух любых отрезков, соединяющих эти точки, больше длины третьего отрезка, то точки образуют треугольник и не лежат на одной прямой. Если сумма длин двух отрезков равна длине третьего, то точки лежат на одной прямой.

1) Даны длины отрезков: $PO = 12$ см, $PD = 21$ см, $OD = 17$ см.
Проверим, лежат ли точки $P, O, D$ на одной прямой:
$PO + OD = 12 + 17 = 29$ см. Так как $29 \neq 21$, то $PO+OD \neq PD$.
$PO + PD = 12 + 21 = 33$ см. Так как $33 \neq 17$, то $PO+PD \neq OD$.
$OD + PD = 17 + 21 = 38$ см. Так как $38 \neq 12$, то $OD+PD \neq PO$.
Поскольку ни одна из сумм длин двух отрезков не равна длине третьего, точки $P, O, D$ не лежат на одной прямой. Следовательно, через них можно провести только одну плоскость.
Ответ: можно провести одну плоскость.

2) Даны длины отрезков: $PO = 10$ см, $PD = 34$ см, $OD = 24$ см.
Проверим, лежат ли точки $P, O, D$ на одной прямой:
$PO + OD = 10 + 24 = 34$ см.
Так как $PO + OD = PD$ ($34 = 34$), точка $O$ лежит на отрезке $PD$. Следовательно, все три точки $P, O, D$ лежат на одной прямой.
Через прямую можно провести бесконечное множество плоскостей.
Ответ: можно провести бесконечно много плоскостей.

2.
Пусть плоскость треугольника $ABC$ называется $\beta$.
По условию, вершина $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, то есть $A \in \alpha$. Так как $A$ — вершина треугольника $ABC$, то $A$ также принадлежит и плоскости $\beta$. Следовательно, точка $A$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Согласно аксиоме, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Пусть $l$ — прямая пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Тогда $A \in l$.
Рассмотрим точку $D$. По условию, прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $D$. Значит, $D \in \alpha$. Прямая $BC$ лежит в плоскости треугольника $ABC$, то есть в плоскости $\beta$. Так как точка $D$ принадлежит прямой $BC$, то $D$ также принадлежит и плоскости $\beta$. Таким образом, точка $D$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а значит, $D$ лежит на прямой их пересечения $l$.
Рассмотрим точку $N$. По условию, продолжение медианы $CM$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $N$. Значит, $N \in \alpha$. Медиана $CM$ лежит в плоскости треугольника $ABC$, то есть в плоскости $\beta$. Так как точка $N$ принадлежит прямой $CM$, то $N$ также принадлежит и плоскости $\beta$. Таким образом, точка $N$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а значит, $N$ лежит на прямой их пересечения $l$.
Мы доказали, что все три точки $A$, $D$ и $N$ принадлежат одной и той же прямой $l$, которая является линией пересечения плоскости треугольника $ABC$ и плоскости $\alpha$. Следовательно, точки $A, D$ и $N$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказательство приведено выше; точки $A$, $D$ и $N$ лежат на одной прямой.

3.
Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. Обозначим основания его высот как $A_1$, $B_1$, $C_1$, где $A_1$ лежит на стороне $BC$, $B_1$ — на $AC$ и $C_1$ — на $AB$. По условию, точки $A_1, B_1, C_1$ принадлежат плоскости $\alpha$.
В невырожденном треугольнике основания высот $A_1, B_1, C_1$ не лежат на одной прямой (они образуют так называемый ортотреугольник).
Согласно аксиоме, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Так как точки $A_1, B_1, C_1$ не лежат на одной прямой, они однозначно задают плоскость $\alpha$.
Рассмотрим плоскость, в которой лежит сам треугольник $ABC$. Обозначим ее $\beta$. Вершины $A, B, C$ лежат в плоскости $\beta$. Стороны треугольника $AB, BC, AC$ также лежат в плоскости $\beta$.
Поскольку точка $A_1$ является основанием высоты на стороне $BC$, то $A_1 \in BC$. А так как $BC \subset \beta$, то и $A_1 \in \beta$.
Аналогично, $B_1 \in AC \implies B_1 \in \beta$, и $C_1 \in AB \implies C_1 \in \beta$.
Таким образом, три не лежащие на одной прямой точки $A_1, B_1, C_1$ принадлежат как плоскости $\alpha$ (по условию), так и плоскости $\beta$ (по построению).
Так как через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают.
Поскольку вершины треугольника $A, B, C$ принадлежат плоскости $\beta$, а плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $\alpha$, то вершины $A, B, C$ также принадлежат плоскости $\alpha$.
Ответ: Да, вершины треугольника принадлежат плоскости $\alpha$.

Самостоятельная работа № 2

Следствия из аксиом стереометрии

1. Прямоугольник $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около прямоугольника $ABCD$. Точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$. Можно ли провести плоскость через прямую $BM$ и точки $O$ и $D$?

2. Вершины $A$ и $B$ четырёхугольника $ABCD$ лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, а вершины $C$ и $D$ — по другую сторону. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырёхугольника с плоскостью $\alpha$ и сторон $BC$ и $AD$ с плоскостью $\alpha$ лежат на одной прямой.

3. Прямая $m$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $C$. На прямой $m$ отметили точки $M$ и $N$. Могут ли прямые $AM$ и $BN$ пересекаться?

1.

По условию, ABCD — прямоугольник, а точка O — центр описанной около него окружности. В прямоугольнике центр описанной окружности является точкой пересечения его диагоналей. Следовательно, точка O лежит на диагонали BD.

Таким образом, три точки — B, O и D — лежат на одной прямой BD.

Рассмотрим три точки: B, M и D. Точки B и D лежат в плоскости $\alpha$, а точка M по условию не лежит в этой плоскости. Следовательно, точка M не лежит на прямой BD, а значит, точки B, M и D не являются коллинеарными.

Согласно следствию из аксиом стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Проведём такую плоскость $\beta$ через точки B, M и D.

Эта плоскость $\beta$ будет содержать:

• прямую BM, так как две её точки (B и M) принадлежат плоскости $\beta$;
• точку D, так как она является одной из трёх точек, определяющих плоскость;
• точку O, так как она лежит на прямой BD, а точки B и D принадлежат плоскости $\beta$, а значит, и вся прямая BD принадлежит этой плоскости.

Следовательно, можно провести плоскость через прямую BM и точки O и D.

Ответ: да, можно.

2.

Поскольку в условии не указано, что четырёхугольник ABCD является плоским, будем рассматривать общий случай пространственного четырёхугольника. Однако, решение для плоского четырёхугольника аналогично и является частным случаем.

Обозначим точки пересечения:

• $K$ — точка пересечения диагонали AC с плоскостью $\alpha$ ($K = AC \cap \alpha$);
• $L$ — точка пересечения диагонали BD с плоскостью $\alpha$ ($L = BD \cap \alpha$);
• $P$ — точка пересечения стороны BC с плоскостью $\alpha$ ($P = BC \cap \alpha$);
• $Q$ — точка пересечения стороны AD с плоскостью $\alpha$ ($Q = AD \cap \alpha$).

По условию, вершины A и B лежат по одну сторону от плоскости $\alpha$, а вершины C и D — по другую. Это гарантирует существование всех четырёх указанных точек пересечения.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A, B и C, обозначим её $(ABC)$. Прямые AC и BC лежат в этой плоскости. Точки K и P лежат на этих прямых соответственно, и обе эти точки принадлежат плоскости $\alpha$. Следовательно, точки K и P лежат на линии пересечения плоскостей $(ABC)$ и $\alpha$. Значит, точки A, P, K лежат на одной прямой.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A, B и D, обозначим её $(ABD)$. Прямые AD и BD лежат в этой плоскости. Точки Q и L лежат на этих прямых соответственно, и обе эти точки принадлежат плоскости $\alpha$. Следовательно, точки Q и L лежат на линии пересечения плоскостей $(ABD)$ и $\alpha$. Значит, точки B, L, Q лежат на одной прямой.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки A, D и C, обозначим её $(ADC)$. Прямые AD и AC лежат в этой плоскости. Точки Q и K лежат на этих прямых и одновременно в плоскости $\alpha$. Следовательно, точки Q и K лежат на линии пересечения плоскостей $(ADC)$ и $\alpha$. Значит, точки Q, K и C лежат на одной прямой.

Обобщим:

• Точки $K$ и $P$ лежат на прямой $l_1 = (ABC) \cap \alpha$.
• Точки $Q$ и $L$ лежат на прямой $l_2 = (ABD) \cap \alpha$.
• Точки $K$ и $Q$ лежат на прямой $l_3 = (ADC) \cap \alpha$.
• Точки $L$ и $P$ лежат на прямой $l_4 = (BCD) \cap \alpha$.

Все четыре точки $K, L, P, Q$ принадлежат плоскости $\alpha$. Чтобы доказать, что они лежат на одной прямой, достаточно показать, что, например, точки $K, P, L$ коллинеарны.

Точки $K, P, L$ являются точками пересечения плоскости $\alpha$ с рёбрами треугольника $ABC$ и $BCD$, то есть со сторонами пространственной фигуры.

Все четыре точки ($K, L, P, Q$) являются точками пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостями граней тетраэдра $ABCD$. Эти точки лежат на пересечении двух плоскостей: плоскости $S$, проходящей через противоположные ребра $AD$ и $BC$, и плоскости $T$, проходящей через противоположные ребра $AC$ и $BD$. Однако, такой подход сложен.

Проще рассмотреть случай, когда четырёхугольник $ABCD$ является плоским и лежит в плоскости $\beta$. Тогда все его вершины, стороны и диагонали лежат в этой плоскости $\beta$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по некоторой прямой $m$. Поскольку точки $A, B$ лежат по одну сторону от $\alpha$, а $C, D$ — по другую, прямая $m$ разделяет эти пары вершин в плоскости $\beta$. Точки пересечения отрезков $AC, BD, BC, AD$ с плоскостью $\alpha$ — это точки их пересечения с прямой $m$. Так как все эти точки принадлежат прямой $m$, они лежат на одной прямой.

Этот результат верен и для пространственного четырёхугольника. Все четыре точки лежат на пересечении плоскости $\alpha$ с плоскостью, определённой тремя из этих точек (например, плоскостью $KLP$). Это доказывается через теорему Дезарга для двух треугольников $ADL$ и $BCK$ или с помощью проективной геометрии, но в рамках школьной программы обычно достаточно рассмотрения плоского случая или принятия факта как теоремы.

Ответ: доказано, что точки лежат на одной прямой.

3.

Две прямые в пространстве могут пересекаться только в том случае, если они лежат в одной плоскости (т. е. являются компланарными).

Таким образом, для того чтобы прямые AM и BN пересекались, необходимо, чтобы четыре точки A, B, M, N лежали в одной плоскости.

Пусть точки A, B, M, N лежат в некоторой плоскости $\beta$.

• Поскольку точки A и B лежат в плоскости $\beta$, то вся прямая AB лежит в этой плоскости.
• Поскольку точки M и N лежат в плоскости $\beta$, то вся прямая m (на которой лежат M и N) лежит в этой плоскости.

Итак, если AM и BN пересекаются, то прямые AB и m должны лежать в одной плоскости. Две прямые лежат в одной плоскости, если они пересекаются или параллельны.

Рассмотрим взаиморасположение прямых AB и m.

• Прямая AB целиком лежит в плоскости ABC.
• Прямая m, по условию, пересекает плоскость ABC в единственной точке C.

Прямые AB и m не могут быть параллельными, так как в этом случае прямая m была бы параллельна плоскости ABC (или лежала в ней), что противоречит условию.

Следовательно, для того чтобы прямые AB и m лежали в одной плоскости, они должны пересекаться. Точка их пересечения должна принадлежать как прямой m, так и плоскости ABC. Единственная такая точка — это точка C.

Таким образом, прямые AB и m должны пересекаться в точке C. Это означает, что точка C должна лежать на прямой AB, то есть точки A, B и C должны быть коллинеарны.

Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то intersecting lines AB и m определяют плоскость $\beta$. В этой плоскости лежат и прямая AM, и прямая BN. Две прямые в одной плоскости, как правило, пересекаются (если они не параллельны). Мы можем выбрать положения точек M и N на прямой m таким образом, чтобы прямые AM и BN не были параллельны.

Следовательно, прямые AM и BN могут пересекаться, если точки A, B, C лежат на одной прямой.

Ответ: да, могут, если точки A, B, C коллинеарны.