Номер 1, страница 28 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Вариант 3

Самостоятельная работа № 1

Аксиомы стереометрии

1. Сколько плоскостей можно провести через точки P, O и D, если:

1) $PO = 12 \text{ см}$, $PD = 21 \text{ см}$, $OD = 17 \text{ см}$;

2) $PO = 10 \text{ см}$, $PD = 34 \text{ см}$, $OD = 24 \text{ см}$?

2. Вершина A треугольника ABC принадлежит плоскости α, а вершины B и C ей не принадлежат. Прямая BC пересекает плоскость α в точке D, а продолжение медианы CM — в точке N. Докажите, что точки A, D и N лежат на одной прямой.

3. Основания высот остроугольного треугольника принадлежат плоскости α. Принадлежат ли плоскости α вершины треугольника?

1.

Количество плоскостей, которые можно провести через три точки, зависит от их взаимного расположения. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Если же три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечно много плоскостей.

Чтобы определить, лежат ли точки на одной прямой, нужно проверить, выполняется ли для них неравенство треугольника. Если сумма длин двух любых отрезков, соединяющих эти точки, больше длины третьего отрезка, то точки образуют треугольник и не лежат на одной прямой. Если сумма длин двух отрезков равна длине третьего, то точки лежат на одной прямой.

1) Даны длины отрезков: $PO = 12$ см, $PD = 21$ см, $OD = 17$ см.
Проверим, лежат ли точки $P, O, D$ на одной прямой:
$PO + OD = 12 + 17 = 29$ см. Так как $29 \neq 21$, то $PO+OD \neq PD$.
$PO + PD = 12 + 21 = 33$ см. Так как $33 \neq 17$, то $PO+PD \neq OD$.
$OD + PD = 17 + 21 = 38$ см. Так как $38 \neq 12$, то $OD+PD \neq PO$.
Поскольку ни одна из сумм длин двух отрезков не равна длине третьего, точки $P, O, D$ не лежат на одной прямой. Следовательно, через них можно провести только одну плоскость.
Ответ: можно провести одну плоскость.

2) Даны длины отрезков: $PO = 10$ см, $PD = 34$ см, $OD = 24$ см.
Проверим, лежат ли точки $P, O, D$ на одной прямой:
$PO + OD = 10 + 24 = 34$ см.
Так как $PO + OD = PD$ ($34 = 34$), точка $O$ лежит на отрезке $PD$. Следовательно, все три точки $P, O, D$ лежат на одной прямой.
Через прямую можно провести бесконечное множество плоскостей.
Ответ: можно провести бесконечно много плоскостей.

2.
Пусть плоскость треугольника $ABC$ называется $\beta$.
По условию, вершина $A$ принадлежит плоскости $\alpha$, то есть $A \in \alpha$. Так как $A$ — вершина треугольника $ABC$, то $A$ также принадлежит и плоскости $\beta$. Следовательно, точка $A$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$.
Согласно аксиоме, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Пусть $l$ — прямая пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Тогда $A \in l$.
Рассмотрим точку $D$. По условию, прямая $BC$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $D$. Значит, $D \in \alpha$. Прямая $BC$ лежит в плоскости треугольника $ABC$, то есть в плоскости $\beta$. Так как точка $D$ принадлежит прямой $BC$, то $D$ также принадлежит и плоскости $\beta$. Таким образом, точка $D$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а значит, $D$ лежит на прямой их пересечения $l$.
Рассмотрим точку $N$. По условию, продолжение медианы $CM$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $N$. Значит, $N \in \alpha$. Медиана $CM$ лежит в плоскости треугольника $ABC$, то есть в плоскости $\beta$. Так как точка $N$ принадлежит прямой $CM$, то $N$ также принадлежит и плоскости $\beta$. Таким образом, точка $N$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а значит, $N$ лежит на прямой их пересечения $l$.
Мы доказали, что все три точки $A$, $D$ и $N$ принадлежат одной и той же прямой $l$, которая является линией пересечения плоскости треугольника $ABC$ и плоскости $\alpha$. Следовательно, точки $A, D$ и $N$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказательство приведено выше; точки $A$, $D$ и $N$ лежат на одной прямой.

3.
Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. Обозначим основания его высот как $A_1$, $B_1$, $C_1$, где $A_1$ лежит на стороне $BC$, $B_1$ — на $AC$ и $C_1$ — на $AB$. По условию, точки $A_1, B_1, C_1$ принадлежат плоскости $\alpha$.
В невырожденном треугольнике основания высот $A_1, B_1, C_1$ не лежат на одной прямой (они образуют так называемый ортотреугольник).
Согласно аксиоме, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Так как точки $A_1, B_1, C_1$ не лежат на одной прямой, они однозначно задают плоскость $\alpha$.
Рассмотрим плоскость, в которой лежит сам треугольник $ABC$. Обозначим ее $\beta$. Вершины $A, B, C$ лежат в плоскости $\beta$. Стороны треугольника $AB, BC, AC$ также лежат в плоскости $\beta$.
Поскольку точка $A_1$ является основанием высоты на стороне $BC$, то $A_1 \in BC$. А так как $BC \subset \beta$, то и $A_1 \in \beta$.
Аналогично, $B_1 \in AC \implies B_1 \in \beta$, и $C_1 \in AB \implies C_1 \in \beta$.
Таким образом, три не лежащие на одной прямой точки $A_1, B_1, C_1$ принадлежат как плоскости $\alpha$ (по условию), так и плоскости $\beta$ (по построению).
Так как через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну плоскость, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают.
Поскольку вершины треугольника $A, B, C$ принадлежат плоскости $\beta$, а плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $\alpha$, то вершины $A, B, C$ также принадлежат плоскости $\alpha$.
Ответ: Да, вершины треугольника принадлежат плоскости $\alpha$.