Номер 3, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 3

Пространственные фигуры.

Начальные сведения о многогранниках

1. Дана призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 25). Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$, точка $K$ — ребру $CC_1$. Постройте прямую пересечения плоскостей $ABC$ и $MB_1K$.

2. Постройте сечение тетраэдра $SABC$ (рис. 26) плоскостью, проходящей через точки $D, E$ и $F$, принадлежащие рёбрам $SA, SB$ и $BC$ соответственно.

3. Постройте сечение призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 27) плоскостью, проходящей через вершины $A$ и $D$ и точку $M$, принадлежащую грани $BB_1C_1C$.

1.

Для построения прямой пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(MB_1K)$ необходимо найти две общие точки этих плоскостей. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой прямой пересечения.

Построение:

1. Найдем первую общую точку. Прямая $MB_1$ лежит в секущей плоскости $(MB_1K)$. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания $(ABC)$. Обе эти прямые, $MB_1$ и $AB$, лежат в одной плоскости боковой грани $(AA_1B_1B)$. Так как прямые $MB_1$ и $AB$ не параллельны (по условию и рисунку), они пересекаются. Продлим отрезки $MB_1$ и $AB$ до их пересечения в точке $P$.
   $P = MB_1 \cap AB$.
   Так как точка $P$ принадлежит прямой $AB$, то $P$ лежит в плоскости $(ABC)$.
   Так как точка $P$ принадлежит прямой $MB_1$, то $P$ лежит в плоскости $(MB_1K)$.
   Следовательно, точка $P$ — одна из точек искомой прямой пересечения.
2. Найдем вторую общую точку. Прямая $KB_1$ лежит в секущей плоскости $(MB_1K)$. Прямая $BC$ лежит в плоскости основания $(ABC)$. Обе эти прямые, $KB_1$ и $BC$, лежат в одной плоскости боковой грани $(BB_1C_1C)$. Они не параллельны, значит, пересекаются. Продлим отрезки $KB_1$ и $BC$ до их пересечения в точке $Q$.
   $Q = KB_1 \cap BC$.
   Так как точка $Q$ принадлежит прямой $BC$, то $Q$ лежит в плоскости $(ABC)$.
   Так как точка $Q$ принадлежит прямой $KB_1$, то $Q$ лежит в плоскости $(MB_1K)$.
   Следовательно, точка $Q$ — вторая точка прямой пересечения.
3. Соединив точки $P$ и $Q$, получим прямую $PQ$, которая является линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(MB_1K)$.

Ответ: Искомая прямая пересечения — это прямая $PQ$, где $P$ — точка пересечения прямых $MB_1$ и $AB$, а $Q$ — точка пересечения прямых $KB_1$ и $BC$.

2.

Для построения сечения тетраэдра $SABC$ плоскостью, проходящей через точки $D$, $E$, $F$, необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра и соединить их отрезками, лежащими на гранях тетраэдра.

Построение:

1. Точки $D$ и $E$ лежат на ребрах $SA$ и $SB$ соответственно, которые принадлежат грани $(SAB)$. Следовательно, отрезок $DE$ является стороной искомого сечения и лежит на грани $(SAB)$.
2. Точки $E$ и $F$ лежат на ребрах $SB$ и $BC$ соответственно, которые принадлежат грани $(SBC)$. Следовательно, отрезок $EF$ является стороной искомого сечения и лежит на грани $(SBC)$.
3. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся методом следов. Найдем след секущей плоскости $(DEF)$ на плоскости основания $(ABC)$.
   В плоскости грани $(SAB)$ прямые $DE$ и $AB$ не параллельны. Продлим их до пересечения в точке $P$: $P = DE \cap AB$.
   Точка $P$ принадлежит прямой $DE$, а значит, и секущей плоскости $(DEF)$.
   Точка $P$ принадлежит прямой $AB$, а значит, и плоскости основания $(ABC)$.
   Точка $F$ по условию принадлежит секущей плоскости $(DEF)$ и плоскости основания $(ABC)$ (так как $F \in BC$).
   Следовательно, прямая $PF$ является следом секущей плоскости $(DEF)$ на плоскости основания $(ABC)$.
4. Найдем точку пересечения следа $PF$ с ребром $AC$. Пусть $G = PF \cap AC$. Точка $G$ является четвертой вершиной сечения.
5. Соединим полученные вершины сечения:
   • $DE$ — на грани $(SAB)$.
   • $EF$ — на грани $(SBC)$.
   • $FG$ — на грани $(ABC)$.
   • $GD$ — на грани $(SAC)$ (точки $G$ и $D$ лежат в плоскости этой грани).

Искомое сечение — четырехугольник $DEFG$.

Ответ: Сечением является четырехугольник $DEFG$, где точка $G$ — это точка пересечения прямой $AC$ с прямой $PF$, а $P$ — точка пересечения прямых $DE$ и $AB$.

3.

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $D$ и точку $M$ на грани $BB_1C_1C$, воспользуемся свойством параллельности плоскостей.

Построение:

1. Точки $A$ и $D$ являются вершинами призмы и лежат в плоскости нижнего основания $(ABCD)$. Следовательно, отрезок $AD$ (ребро призмы) является стороной искомого сечения и лежит на грани $(ABCD)$.
2. Грани $(ADD_1A_1)$ и $(BCC_1B_1)$ призмы параллельны. По свойству: если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.
3. Секущая плоскость $(ADM)$ пересекает грань $(ADD_1A_1)$ по прямой, содержащей отрезок $AD$. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с параллельной гранью $(BCC_1B_1)$ должна быть параллельна прямой $AD$.
4. Точка $M$ принадлежит секущей плоскости и грани $(BCC_1B_1)$. Проведем через точку $M$ в плоскости грани $(BCC_1B_1)$ прямую, параллельную $AD$. Так как в призме $AD \parallel BC$, эта прямая будет также параллельна $BC$.
5. Пусть эта прямая пересекает ребра $BB_1$ и $CC_1$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Тогда отрезок $PQ$ — это сторона сечения, лежащая на грани $(BCC_1B_1)$.
6. Теперь соединим последовательно все полученные вершины сечения, лежащие на гранях призмы:
   • $A$ и $P$ лежат на грани $(AA_1B_1B)$, соединяем их отрезком $AP$.
   • $D$ и $Q$ лежат на грани $(DD_1C_1C)$, соединяем их отрезком $DQ$.

Полученный четырехугольник $APQD$ является искомым сечением. Так как мы строили $PQ \parallel AD$, то это сечение является трапецией.

Ответ: Искомое сечение — трапеция $APQD$, где точки $P$ и $Q$ получены в результате пересечения ребер $BB_1$ и $CC_1$ прямой, проведенной через точку $M$ в плоскости грани $(BCC_1B_1)$ параллельно ребру $AD$.