Номер 22, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 22

Усечённая пирамида

1. Боковое ребро правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равно $\sqrt{6}$ см, а сторона большего основания — 6 см. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды, если её высота равна 2 см.

2. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны $6\sqrt{3}$ см и $24\sqrt{3}$ см, а её высота — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

3. Площади оснований усечённой пирамиды равны $12 \text{ см}^2$ и $28 \text{ см}^2$, а площадь боковой поверхности — $32 \text{ см}^2$. Все двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах большего основания равны. Найдите эти углы.

1.

Диагональное сечение правильной усечённой четырёхугольной пирамиды представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), боковыми сторонами — боковые рёбра пирамиды ($l$), а высотой — высота пирамиды ($H$).

Дано:
Боковое ребро $l = \sqrt{6}$ см.
Сторона большего основания $a_1 = 6$ см.
Высота пирамиды $H = 2$ см.

1. Найдём диагональ большего основания. Так как основание — квадрат со стороной $a_1 = 6$ см, его диагональ $d_1$ равна:
$d_1 = a_1\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $H$, боковой стороной $l$ и отрезком, равным полуразности оснований трапеции $\frac{d_1 - d_2}{2}$. По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + \left(\frac{d_1 - d_2}{2}\right)^2$

Подставим известные значения:
$(\sqrt{6})^2 = 2^2 + \left(\frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}\right)^2$
$6 = 4 + \left(\frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}\right)^2$
$2 = \left(\frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}\right)^2$
$\sqrt{2} = \frac{6\sqrt{2} - d_2}{2}$
$2\sqrt{2} = 6\sqrt{2} - d_2$
$d_2 = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$.

3. Теперь найдём площадь диагонального сечения (трапеции) по формуле:
$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot H$
$S_{сеч} = \frac{6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = \frac{10\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = 10\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $10\sqrt{2} \text{ см}^2$.

2.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Дано:
Стороны оснований (правильные треугольники) $a_1 = 24\sqrt{3}$ см и $a_2 = 6\sqrt{3}$ см.
Высота пирамиды $H = 12$ см.

1. Найдём периметры оснований:
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 24\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}$.
$P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \text{ см}$.

2. Для нахождения апофемы $h_a$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и разностью радиусов вписанных в основания окружностей ($r_1 - r_2$). Радиус вписанной в правильный треугольник окружности (который также является его апофемой) находится по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Найдём радиусы для оснований:
$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 12 \text{ см}$.
$r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3 \text{ см}$.

3. По теореме Пифагора для указанного треугольника:
$h_a^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
$h_a^2 = 12^2 + (12 - 3)^2 = 144 + 9^2 = 144 + 81 = 225$
$h_a = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$.

4. Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{72\sqrt{3} + 18\sqrt{3}}{2} \cdot 15 = \frac{90\sqrt{3}}{2} \cdot 15 = 45\sqrt{3} \cdot 15 = 675\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $675\sqrt{3} \text{ см}^2$.

3.

Если все двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, то площадь ортогональной проекции боковой поверхности на плоскость этого основания равна разности площадей оснований.

Дано:
Площадь большего основания $S_1 = 28 \text{ см}^2$.
Площадь меньшего основания $S_2 = 12 \text{ см}^2$.
Площадь боковой поверхности $S_{бок} = 32 \text{ см}^2$.

Пусть $\alpha$ — искомый двугранный угол при ребре большего основания. Этот угол является углом между плоскостью боковой грани и плоскостью большего основания.

Площадь проекции боковой поверхности на плоскость большего основания ($S_{пр}$) связана с площадью боковой поверхности ($S_{бок}$) и углом $\alpha$ соотношением:
$S_{пр} = S_{бок} \cdot \cos{\alpha}$

В то же время, площадь этой проекции равна разности площадей большего и меньшего оснований:
$S_{пр} = S_1 - S_2$

Приравнивая правые части, получаем:
$S_1 - S_2 = S_{бок} \cdot \cos{\alpha}$

Подставим данные из условия задачи:
$28 - 12 = 32 \cdot \cos{\alpha}$
$16 = 32 \cdot \cos{\alpha}$
$\cos{\alpha} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим угол $\alpha$:
$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.