Номер 18, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 18

Геометрическое место точек пространства

1. Длина отрезка $CD$ равна 12 см. Найдите геометрическое место точек $X$, равноудалённых от точек $C$ и $D$ и таких, что $CX = 10$ см.

2. Стороны $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ равны соответственно 17 см, 10 см и 9 см. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что каждая из прямых $XA$, $XB$ и $XC$ образует с плоскостью $ABC$ угол, равный $30^{\circ}$.

3. Найдите ГМТ, равноудалённых от пересекающихся плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и удалённых от их линии пересечения на 5 см.

1.

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудалённых от двух точек C и D, представляет собой плоскость, перпендикулярную отрезку CD и проходящую через его середину. Обозначим эту плоскость как α, а середину отрезка CD как M.

По условию, длина отрезка CD равна 12 см. Следовательно, точка M делит его на два отрезка по 6 см: $CM = MD = \frac{12}{2} = 6$ см.

Второе условие задачи гласит, что расстояние от искомой точки X до точки C равно 10 см, то есть $CX = 10$ см. Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии (в данном случае 10 см) от заданной точки (C), — это сфера с центром в точке C и радиусом $R = 10$ см.

Таким образом, искомое ГМТ является пересечением плоскости α и сферы.

Рассмотрим треугольник CMX, где X — любая точка искомого ГМТ. Так как точка X лежит в плоскости α, а точка M также лежит в этой плоскости, то и прямая MX лежит в плоскости α. Отрезок CD перпендикулярен плоскости α по определению. Следовательно, отрезок CD перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку M, в том числе и прямой MX. Это означает, что треугольник CMX является прямоугольным с прямым углом при вершине M.

По теореме Пифагора для треугольника CMX:

$CX^2 = CM^2 + MX^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = 6^2 + MX^2$

$100 = 36 + MX^2$

$MX^2 = 100 - 36 = 64$

$MX = \sqrt{64} = 8$ см.

Это означает, что любая точка X искомого ГМТ находится в плоскости α на расстоянии 8 см от точки M. Множество таких точек образует окружность, лежащую в плоскости α, с центром в точке M и радиусом 8 см.

Ответ: Окружность радиусом 8 см с центром в середине отрезка CD, лежащая в плоскости, перпендикулярной отрезку CD.

2.

Пусть X — искомая точка, а H — её проекция на плоскость треугольника ABC. Тогда отрезок XH перпендикулярен плоскости ABC.

Угол между наклонной (например, XA) и плоскостью (ABC) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость (HA). По условию, этот угол равен $30^\circ$. Таким образом, мы имеем:

$\angle XAH = \angle XBH = \angle XCH = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle XHA$, $\triangle XHB$ и $\triangle XHC$ (они прямоугольные, так как $XH \perp$ плоскости ABC). У них общий катет XH. Из соотношений в прямоугольном треугольнике:

$HA = \frac{XH}{\tan(30^\circ)}$, $HB = \frac{XH}{\tan(30^\circ)}$, $HC = \frac{XH}{\tan(30^\circ)}$.

Отсюда следует, что $HA = HB = HC$. Точка H в плоскости треугольника ABC, равноудалённая от его вершин, является центром описанной окружности этого треугольника. Расстояние от H до вершин равно радиусу описанной окружности R.

Найдём радиус R описанной окружности треугольника ABC со сторонами $a = BC = 10$ см, $b = AC = 9$ см, $c = AB = 17$ см. Сначала вычислим площадь треугольника S по формуле Герона. Полупериметр p:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+9+17}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Площадь S:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{18(18-10)(18-9)(18-17)} = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 1} = \sqrt{1296} = 36$ см$^2$.

Теперь найдём радиус описанной окружности R по формуле $R = \frac{abc}{4S}$:

$R = \frac{10 \cdot 9 \cdot 17}{4 \cdot 36} = \frac{10 \cdot 17}{4 \cdot 4} = \frac{170}{16} = \frac{85}{8}$ см.

Таким образом, точка H — это центр описанной окружности $\triangle ABC$. Искомые точки X должны лежать на прямой, перпендикулярной плоскости ABC и проходящей через точку H. Расстояние от точки X до плоскости ABC равно XH. Найдем его:

$XH = R \cdot \tan(30^\circ) = \frac{85}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{85}{8\sqrt{3}} = \frac{85\sqrt{3}}{24}$ см.

Поскольку точка X может находиться по любую сторону от плоскости ABC, существуют две такие точки, симметричные относительно плоскости ABC.

Ответ: Две точки, расположенные на прямой, перпендикулярной плоскости треугольника ABC и проходящей через центр его описанной окружности, на расстоянии $\frac{85\sqrt{3}}{24}$ см от этой плоскости.

3.

Рассмотрим каждое условие отдельно.

1. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей α и β, представляет собой пару биссекторных плоскостей. Эти плоскости делят пополам двугранные углы, образованные плоскостями α и β. Они проходят через линию пересечения плоскостей α и β и взаимно перпендикулярны.

2. Геометрическое место точек, удалённых от прямой (в данном случае, от линии пересечения плоскостей) на постоянное расстояние (5 см), представляет собой поверхность цилиндра вращения. Осью этого цилиндра является данная прямая, а радиус равен 5 см.

Искомое ГМТ является пересечением двух ГМТ, описанных выше, то есть пересечением пары биссекторных плоскостей с цилиндром.

Обе биссекторные плоскости содержат ось цилиндра (линию пересечения плоскостей α и β). Пересечение плоскости, проходящей через ось цилиндра, с самим цилиндром представляет собой пару параллельных прямых. Эти прямые лежат в секущей плоскости и удалены от оси на расстояние, равное радиусу цилиндра.

Следовательно:

• Пересечение первой биссекторной плоскости с цилиндром даст две параллельные прямые, удалённые от линии пересечения α и β на 5 см.
• Пересечение второй биссекторной плоскости с цилиндром даст ещё две параллельные прямые, также удалённые от линии пересечения α и β на 5 см.

В итоге мы получаем четыре прямые, все они параллельны линии пересечения плоскостей α и β.

Ответ: Четыре прямые, параллельные линии пересечения плоскостей α и β и отстоящие от неё на 5 см. Эти прямые лежат в биссекторных плоскостях двугранных углов, образованных плоскостями α и β (по две прямые в каждой плоскости).