Номер 16, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 16

Площадь ортогональной проекции многоугольника

1. Ортогональной проекцией треугольника $ABC$ на некоторую плоскость является равносторонний треугольник $A_1B_1C_1$, сторона которого равна 4 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если площадь треугольника $ABC$ равна $8 \text{ см}^2$.

2. Треугольник $D_1E_1F_1$ — ортогональная проекция треугольника $DEF$ на плоскость $\alpha$. Треугольник $D_2E_2F_2$ — ортогональная проекция треугольника $D_1E_1F_1$ на плоскость $DEF$. Найдите площадь треугольника $D_1E_1F_1$, если площади треугольников $DEF$ и $D_2E_2F_2$ соответственно равны $42 \text{ см}^2$ и $7 \text{ см}^2$.

3. Грань $ABCD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадратом, сторона которого равна 4 см, а ребро $DD_1$ равно 5 см. На рёбрах $AD$ и $DC$ отметили точки $E$ и $F$ соответственно так, что $DE = DF = 1 \text{ см}$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFB_1$.

1.

Площадь ортогональной проекции многоугольника $S_{пр}$ связана с площадью исходного многоугольника $S$ формулой $S_{пр} = S \cdot \cos(\phi)$, где $\phi$ — угол между плоскостями многоугольника и его проекции.

В данной задаче треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$. Следовательно, $S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\phi)$.

Нам дано:

• Площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = 8 \text{ см}^2$.
• Треугольник $A_1B_1C_1$ — равносторонний со стороной $a = 4 \text{ см}$.

Сначала найдем площадь треугольника $A_1B_1C_1$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Теперь подставим известные значения в формулу для площади проекции:

$4\sqrt{3} = 8 \cdot \cos(\phi)$

Выразим из этого уравнения $\cos(\phi)$:

$\cos(\phi) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^\circ$.

$\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.

2.

Пусть $S_{DEF}$, $S_{D_1E_1F_1}$ и $S_{D_2E_2F_2}$ — площади треугольников $DEF$, $D_1E_1F_1$ и $D_2E_2F_2$ соответственно. По условию, $S_{DEF} = 42 \text{ см}^2$ и $S_{D_2E_2F_2} = 7 \text{ см}^2$.

Пусть $\phi$ — угол между плоскостью треугольника $DEF$ и плоскостью $\alpha$.

Треугольник $D_1E_1F_1$ является ортогональной проекцией треугольника $DEF$ на плоскость $\alpha$. Значит, их площади связаны соотношением:

$S_{D_1E_1F_1} = S_{DEF} \cdot \cos(\phi)$ (1)

Треугольник $D_2E_2F_2$ является ортогональной проекцией треугольника $D_1E_1F_1$ на плоскость $DEF$. Угол между плоскостью $\alpha$ (в которой лежит $D_1E_1F_1$) и плоскостью $DEF$ также равен $\phi$. Следовательно:

$S_{D_2E_2F_2} = S_{D_1E_1F_1} \cdot \cos(\phi)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $S_{D_1E_1F_1}$ и $\cos(\phi)$:

$\begin{cases} S_{D_1E_1F_1} = 42 \cdot \cos(\phi) \\ 7 = S_{D_1E_1F_1} \cdot \cos(\phi) \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\cos(\phi) = \frac{7}{S_{D_1E_1F_1}}$ и подставим в первое уравнение:

$S_{D_1E_1F_1} = 42 \cdot \left(\frac{7}{S_{D_1E_1F_1}}\right)$

$(S_{D_1E_1F_1})^2 = 42 \cdot 7 = 6 \cdot 7 \cdot 7 = 294$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти площадь $S_{D_1E_1F_1}$ (площадь не может быть отрицательной):

$S_{D_1E_1F_1} = \sqrt{294} = \sqrt{49 \cdot 6} = 7\sqrt{6} \text{ см}^2$.

Ответ: $7\sqrt{6} \text{ см}^2$.

3.

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом проекций. Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания $ABCD$ и угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

1. Построение проекции сечения.

Сечение проходит через точки $E$, $F$, $B_1$. Проекция сечения на плоскость $ABCD$ — это многоугольник, вершины которого являются проекциями вершин сечения. Проекциями точек $E$ (на ребре $AD$) и $F$ (на ребре $DC$) на плоскость $ABCD$ являются сами эти точки. Проекцией вершины $B_1$ является вершина $B$. Плоскость сечения пересекает также ребра $AA_1$ и $CC_1$. Проекциями этих точек пересечения на плоскость $ABCD$ будут вершины $A$ и $C$. Таким образом, проекцией сечения является пятиугольник $AEFCB$.

2. Вычисление площади проекции.

Площадь пятиугольника $AEFCB$ можно найти как разность площади квадрата $ABCD$ и площади треугольника $DEF$.

Площадь квадрата $ABCD$ со стороной 4 см равна: $S_{ABCD} = 4^2 = 16 \text{ см}^2$.

Треугольник $DEF$ — прямоугольный, так как $\angle D = 90^\circ$. Катеты $DE=1$ см и $DF=1$ см. Его площадь равна: $S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot DF = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0.5 \text{ см}^2$.

Площадь проекции сечения $S_{пр}$ равна:

$S_{пр} = S_{ABCD} - S_{DEF} = 16 - 0.5 = 15.5 = \frac{31}{2} \text{ см}^2$.

3. Нахождение угла между плоскостями.

Угол $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью основания равен углу между их нормальными векторами. Введем систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$, осью $Dx$ вдоль $DA$, осью $Dy$ вдоль $DC$ и осью $Dz$ вдоль $DD_1$. Координаты точек, определяющих плоскость сечения: $E(1,0,0)$ (т.к. $DE=1$ на $DA$), $F(0,1,0)$ (т.к. $DF=1$ на $DC$), $B_1(4,4,5)$ (т.к. $AB=4, BC=4, DD_1=5$).

Найдем векторы, лежащие в плоскости сечения: $\vec{EF} = F - E = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$ $\vec{EB_1} = B_1 - E = (4-1, 4-0, 5-0) = (3, 4, 5)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости сечения найдем как векторное произведение $\vec{EF} \times \vec{EB_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot5 - 0\cdot4) - \mathbf{j}(-1\cdot5 - 0\cdot3) + \mathbf{k}(-1\cdot4 - 1\cdot3) = 5\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 7\mathbf{k} = (5, 5, -7)$.

Нормальный вектор к плоскости основания $ABCD$ (плоскости $xy$) — это вектор $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостями: $|\cos \gamma| = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{||\vec{n}|| \cdot ||\vec{k}||} = \frac{|(5, 5, -7) \cdot (0, 0, 1)|}{\sqrt{5^2+5^2+(-7)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{|-7|}{\sqrt{25+25+49} \cdot 1} = \frac{7}{\sqrt{99}} = \frac{7}{3\sqrt{11}}$.

4. Вычисление площади сечения.

Площадь сечения $S_{сеч}$ равна: $S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{|\cos \gamma|} = \frac{31/2}{7/(3\sqrt{11})} = \frac{31}{2} \cdot \frac{3\sqrt{11}}{7} = \frac{93\sqrt{11}}{14} \text{ см}^2$.

Ответ: $\frac{93\sqrt{11}}{14} \text{ см}^2$.