Номер 19, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 19

Призма

1. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 4 см и 12 см, а диагонали являются биссектрисами её тупых углов. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её диагональ образует с боковым ребром угол $30^{\circ}$.

2. Основанием наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 13$ см, $AC = 10$ см. Боковое ребро призмы $BB_1$ образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$, а проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$ является точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Найдите площадь грани $AA_1 C_1 C$.

3. Основанием прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, $AC = AB = 15$ см, $BC = 24$ см. Боковое ребро призмы равно 8 см. Найдите угол между прямыми $AC_1$ и $BA_1$.

1.

Пусть основанием прямой призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=12$ см и $BC=4$ см. Пусть диагональ $BD$ является биссектрисой тупого угла $\angle ABC$.

1. Найдем стороны основания.
По условию, диагональ является биссектрисой тупого угла. Пусть это будет диагональ $BD$, которая является биссектрисой угла $\angle ABC$. Тогда $\angle ABD = \angle DBC$.
Так как $BC \parallel AD$ (основания трапеции), то $\angle DBC = \angle BDA$ как накрест лежащие углы при секущей $BD$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle ABD = \angle BDA$. Это означает, что треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$, и, следовательно, боковая сторона $AB$ равна основанию $AD$.
$AB = AD = 12$ см.
Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $CD = AB = 12$ см.
Периметр основания $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = 12 + 4 + 12 + 12 = 40$ см.

2. Найдем длину диагонали основания.
Рассмотрим трапецию $ABCD$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$ вычисляется по формуле:
$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4$ см.
В прямоугольном треугольнике $ABH$ найдем косинус угла $\angle DAB$:
$\cos(\angle DAB) = \frac{AH}{AB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Так как трапеция равнобокая, $\angle CDA = \angle DAB$, значит $\cos(\angle CDA) = \frac{1}{3}$.
Теперь найдем длину диагонали $AC$ из треугольника $ACD$ по теореме косинусов:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle CDA)$
$AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{3} = 144 + 144 - 2 \cdot 144 \cdot \frac{1}{3} = 288 - 96 = 192$.
$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

3. Найдем высоту призмы.
Пусть призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Призма прямая, значит боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$. Следовательно, треугольник $A_1AC$ прямоугольный с прямым углом $\angle A_1AC$.
Диагональ призмы $A_1C$ образует с боковым ребром $AA_1$ угол $\angle CA_1A = 30^\circ$.
Из прямоугольного треугольника $A_1AC$ найдем высоту призмы $h = AA_1$:
$\text{tg}(\angle CA_1A) = \frac{AC}{AA_1}$
$h = AA_1 = \frac{AC}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{8\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 24$ см.

4. Найдем площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ - периметр основания, $h$ - высота призмы.
$S_{бок} = 40 \cdot 24 = 960$ см$^2$.

Ответ: $960$ см$^2$.

2.

1. Проанализируем основание и найдем его элементы.
Основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB=BC=13$ см и $AC=10$ см. Проведем медиану (а также высоту и биссектрису) $BM$ к основанию $AC$. Точка $M$ - середина $AC$, поэтому $AM = MC = 10/2 = 5$ см.
Из прямоугольного треугольника $ABM$ по теореме Пифагора найдем длину медианы $BM$:
$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Найдем длину бокового ребра и высоту призмы.
По условию, проекцией вершины $B_1$ на плоскость основания $ABC$ является точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Обозначим эту точку $O$.
Центроид $O$ лежит на медиане $BM$ и делит ее в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом:
$BO = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.
Отрезок $BO$ является проекцией бокового ребра $BB_1$ на плоскость основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол $\angle B_1BO$, который по условию равен $45^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1OB$ (угол $\angle B_1OB = 90^\circ$). $B_1O$ - высота призмы $h$.
$h = B_1O = BO \cdot \text{tg}(45^\circ) = 8 \cdot 1 = 8$ см.
Длина бокового ребра $l = BB_1$ равна:
$l = BB_1 = \frac{BO}{\cos(45^\circ)} = \frac{8}{\sqrt{2}/2} = 8\sqrt{2}$ см.
Все боковые ребра призмы равны, т.е. $AA_1 = CC_1 = BB_1 = 8\sqrt{2}$ см.

3. Найдем площадь грани $AA_1C_1C$.
Грань $AA_1C_1C$ является параллелограммом. Для нахождения ее площади воспользуемся методом координат. Разместим основание в плоскости $Oxy$. Пусть точка $M$ (середина $AC$) совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Тогда ось $x$ направим вдоль $AC$, а ось $y$ - вдоль $MB$.
Координаты вершин основания:
$A = (-5, 0, 0)$, $C = (5, 0, 0)$, $B = (0, 12, 0)$.
Координаты центроида $O$: $O = (\frac{-5+5+0}{3}, \frac{0+0+12}{3}, \frac{0+0+0}{3}) = (0, 4, 0)$.
Вершина $B_1$ имеет проекцию $O(0,4,0)$ и находится на высоте $h=8$. Следовательно, $B_1 = (0, 4, 8)$.
Вектор бокового ребра $\vec{l} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (0-0, 4-12, 8-0) = (0, -8, 8)$.
Этот вектор одинаков для всех боковых ребер, т.е. $\vec{AA_1} = (0, -8, 8)$.
Вектор стороны основания $\vec{AC} = C - A = (5 - (-5), 0-0, 0-0) = (10, 0, 0)$.
Площадь параллелограмма $AA_1C_1C$ равна модулю векторного произведения векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$:
$S = |\vec{AC} \times \vec{AA_1}|$.
$\vec{AC} \times \vec{AA_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 10 & 0 & 0 \\ 0 & -8 & 8 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 8 - 0 \cdot (-8)) - \vec{j}(10 \cdot 8 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(10 \cdot (-8) - 0 \cdot 0) = 0\vec{i} - 80\vec{j} - 80\vec{k}$.
$S = \sqrt{0^2 + (-80)^2 + (-80)^2} = \sqrt{6400 + 6400} = \sqrt{2 \cdot 6400} = 80\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $80\sqrt{2}$ см$^2$.

3.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BA_1$ воспользуемся методом координат.

1. Введем систему координат.
Основанием призмы является равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AC=AB=15$ см и $BC=24$ см. Призма прямая, ее высота (длина бокового ребра) $h=8$ см.
Расположим основание $ABC$ в плоскости $z=0$. Пусть середина стороны $BC$ будет в начале координат $(0,0,0)$. Ось $x$ направим вдоль прямой $BC$.
Тогда вершины $B$ и $C$ будут иметь координаты: $B = (-12, 0, 0)$ и $C = (12, 0, 0)$.
Вершина $A$ будет лежать на оси $y$. Найдем ее $y$-координату из длины стороны $AB=15$.
$AB^2 = (0 - (-12))^2 + (y_A - 0)^2 + (0-0)^2 = 12^2 + y_A^2 = 144 + y_A^2$.
$15^2 = 144 + y_A^2 \Rightarrow 225 = 144 + y_A^2 \Rightarrow y_A^2 = 81 \Rightarrow y_A = 9$.
Итак, координаты вершин основания: $A = (0, 9, 0)$, $B = (-12, 0, 0)$, $C = (12, 0, 0)$.
Так как призма прямая и ее высота $h=8$, координаты вершин верхнего основания:
$A_1 = (0, 9, 8)$, $B_1 = (-12, 0, 8)$, $C_1 = (12, 0, 8)$.

2. Найдем направляющие векторы прямых.
Для прямой $AC_1$ направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (12-0, 0-9, 8-0) = (12, -9, 8)$.
Для прямой $BA_1$ направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0-(-12), 9-0, 8-0) = (12, 9, 8)$.

3. Найдем угол между векторами.
Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.
Найдем скалярное произведение:
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 12 \cdot 12 + (-9) \cdot 9 + 8 \cdot 8 = 144 - 81 + 64 = 127$.
Найдем длины векторов:
$|\vec{v_1}| = \sqrt{12^2 + (-9)^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 81 + 64} = \sqrt{289} = 17$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{12^2 + 9^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 81 + 64} = \sqrt{289} = 17$.
Теперь найдем косинус угла:
$\cos(\alpha) = \frac{127}{17 \cdot 17} = \frac{127}{289}$.
Поскольку $\cos(\alpha) > 0$, угол $\alpha$ острый, и он является углом между прямыми.

Ответ: $\arccos\left(\frac{127}{289}\right)$.