Номер 14, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 14

Двугранный угол. Угол между плоскостями

1. В гранях двугранного угла проведены прямые $m$ и $n$, параллельные его ребру, на расстоянии $8$ см и $2\sqrt{3}$ см от него соответственно. Найдите величину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми $m$ и $n$ равно $2\sqrt{31}$ см.

2. Из точек $C$ и $D$, лежащих в разных гранях двугранного угла, величина которого равна $45^\circ$, проведены к его ребру перпендикуляры $DA$ и $CB$. Найдите отрезок $DC$, если $AB = 3$ см, $AD = 6\sqrt{2}$ см, $BC = 8$ см.

3. Через гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ равен $60^\circ$, а катет $AC$ образует с плоскостью $\alpha$ угол $30^\circ$. Найдите угол, который образует катет $BC$ с плоскостью $\alpha$.

1.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $e$ (ребро двугранного угла). В грани $\alpha$ проведена прямая $m \parallel e$ на расстоянии $d_1 = 8$ см от ребра. В грани $\beta$ проведена прямая $n \parallel e$ на расстоянии $d_2 = 2\sqrt{3}$ см от ребра. Расстояние между прямыми $m$ и $n$ равно $d = 2\sqrt{31}$ см.
Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого выберем на ребре $e$ произвольную точку $O$ и проведем через нее плоскость $\gamma$, перпендикулярную ребру $e$.
Поскольку $m \parallel e$ и $n \parallel e$, плоскость $\gamma$ будет перпендикулярна также прямым $m$ и $n$.
Пусть плоскость $\gamma$ пересекает прямую $m$ в точке $M$ и прямую $n$ в точке $N$.
Отрезок $OM$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярен ребру $e$, поэтому его длина равна расстоянию от прямой $m$ до ребра: $OM = d_1 = 8$ см.
Аналогично, отрезок $ON$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярен ребру $e$, поэтому его длина равна расстоянию от прямой $n$ до ребра: $ON = d_2 = 2\sqrt{3}$ см.
Угол $\angle MON$ в плоскости $\gamma$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину через $\phi$.
Так как плоскость $\gamma$ перпендикулярна прямым $m$ и $n$, отрезок $MN$ является общим перпендикуляром к этим прямым. Следовательно, его длина равна расстоянию между прямыми $m$ и $n$: $MN = d = 2\sqrt{31}$ см.
Рассмотрим треугольник $\triangle MON$. Мы знаем длины всех трех его сторон: $OM=8$ см, $ON=2\sqrt{3}$ см, $MN=2\sqrt{31}$ см. По теореме косинусов для этого треугольника:
$MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(\phi)$
Подставим известные значения:
$(2\sqrt{31})^2 = 8^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(\phi)$
$4 \cdot 31 = 64 + 4 \cdot 3 - 32\sqrt{3} \cdot \cos(\phi)$
$124 = 64 + 12 - 32\sqrt{3} \cdot \cos(\phi)$
$124 = 76 - 32\sqrt{3} \cdot \cos(\phi)$
$124 - 76 = -32\sqrt{3} \cdot \cos(\phi)$
$48 = -32\sqrt{3} \cdot \cos(\phi)$
$\cos(\phi) = -\frac{48}{32\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Угол $\phi$, для которого $\cos(\phi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ равен $150^\circ$.
Ответ: $150^\circ$.

2.

Пусть дан двугранный угол с ребром $l$. В одной его грани лежит точка $D$, в другой - точка $C$. Из этих точек проведены перпендикуляры $DA$ и $CB$ к ребру $l$, где $A$ и $B$ - точки на ребре. По условию, величина двугранного угла равна $45^\circ$, $AB = 3$ см, $AD = 6\sqrt{2}$ см, $BC = 8$ см. Нужно найти длину отрезка $DC$.
Применим метод пространственных преобразований. Совершим параллельный перенос точки $C$ и отрезка $CB$ вдоль ребра $l$ на вектор $\vec{BA}$. В результате точка $B$ перейдет в точку $A$, а точка $C$ перейдет в некоторую точку $C'$. При этом $C'A = CB = 8$ см, и отрезок $C'A$ будет перпендикулярен ребру $l$, так как $CB \perp l$.
Теперь отрезки $AD$ и $AC'$ лежат в гранях двугранного угла и выходят из одной точки $A$ на ребре, будучи перпендикулярными ему. Следовательно, угол между ними, $\angle DAC'$, является линейным углом двугранного угла и равен $45^\circ$.
Рассмотрим треугольник $\triangle DAC'$. Мы знаем две его стороны и угол между ними: $AD = 6\sqrt{2}$ см, $AC' = 8$ см, $\angle DAC' = 45^\circ$. Найдем длину стороны $DC'$ по теореме косинусов:
$(DC')^2 = AD^2 + (AC')^2 - 2 \cdot AD \cdot AC' \cdot \cos(\angle DAC')$
$(DC')^2 = (6\sqrt{2})^2 + 8^2 - 2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \cos(45^\circ)$
$(DC')^2 = 72 + 64 - 96\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$(DC')^2 = 136 - 96 \cdot \frac{2}{2} = 136 - 96 = 40$
Вектор переноса $\vec{CC'}$ равен вектору $\vec{BA}$. Это означает, что отрезок $CC'$ параллелен ребру $l$ и его длина равна длине отрезка $AB$, то есть $CC' = AB = 3$ см.
Отрезок $DC'$ лежит в плоскости, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной ребру $l$. Так как $CC'$ параллелен ребру $l$, то $CC'$ перпендикулярен этой плоскости, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и $DC'$.
Следовательно, треугольник $\triangle DCC'$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C'$.
По теореме Пифагора для $\triangle DCC'$:
$DC^2 = (DC')^2 + (CC')^2$
$DC^2 = 40 + 3^2 = 40 + 9 = 49$
$DC = \sqrt{49} = 7$ см.
Ответ: 7 см.

3.

Пусть $\triangle ABC$ - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Плоскость $\alpha$ проходит через гипотенузу $AB$. Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $60^\circ$. Катет $AC$ образует с плоскостью $\alpha$ угол $30^\circ$. Найдем угол $\beta$, который образует катет $BC$ с плоскостью $\alpha$.
Проведем из вершины $C$ перпендикуляр $CH$ к плоскости $\alpha$ ($H \in \alpha$). Длина отрезка $CH$ - это расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$.
Угол между наклонной и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость.
Проекцией катета $AC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AH$. Угол между $AC$ и $\alpha$ по условию равен $30^\circ$, то есть $\angle CAH = 30^\circ$.
Проекцией катета $BC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $BH$. Искомый угол $\beta$ - это $\angle CBH$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle CHA$ (где $\angle H = 90^\circ$):
$CH = AC \cdot \sin(\angle CAH) = AC \cdot \sin(30^\circ) = \frac{AC}{2}$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle CHB$ (где $\angle H = 90^\circ$):
$CH = BC \cdot \sin(\angle CBH) = BC \cdot \sin(\beta)$.
Приравнивая выражения для $CH$, получаем: $\frac{AC}{2} = BC \cdot \sin(\beta)$, откуда $\sin(\beta) = \frac{AC}{2 \cdot BC}$.
Теперь найдем связь между катетами $AC$ и $BC$.
Проведем в плоскости $\triangle ABC$ высоту $CK$ к гипотенузе $AB$. Так как $CK \perp AB$ и $AB$ является линией пересечения плоскостей, то линейный угол двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ будет $\angle CKH$, где $H$ - основание перпендикуляра из $C$ на $\alpha$, а $K$ - основание перпендикуляра из $C$ на $AB$. По теореме о трех перпендикулярах, $HK \perp AB$. Таким образом, $\angle CKH = 60^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle CKH$ (где $\angle H = 90^\circ$):
$CH = CK \cdot \sin(\angle CKH) = CK \cdot \sin(60^\circ) = CK \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Снова приравниваем выражения для $CH$:
$\frac{AC}{2} = CK \frac{\sqrt{3}}{2} \implies AC = CK \sqrt{3}$.
В прямоугольном $\triangle ABC$ высота $CK$ связана с катетом $AC$ и углом $A$ ($\angle CAB$): в $\triangle ACK$ имеем $CK = AC \cdot \sin(\angle A)$.
Подставим это в предыдущее равенство:
$AC = (AC \cdot \sin(\angle A)) \cdot \sqrt{3}$
$1 = \sqrt{3} \sin(\angle A) \implies \sin(\angle A) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
В прямоугольном $\triangle ABC$, $\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$. Найдем $\tan(\angle A)$:
$\cos^2(\angle A) = 1 - \sin^2(\angle A) = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies \cos(\angle A) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
$\tan(\angle A) = \frac{\sin(\angle A)}{\cos(\angle A)} = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{2}/\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Следовательно, $\frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, откуда $AC = BC\sqrt{2}$.
Наконец, подставим это соотношение в формулу для $\sin(\beta)$:
$\sin(\beta) = \frac{AC}{2 \cdot BC} = \frac{BC\sqrt{2}}{2 \cdot BC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол $\beta$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, есть $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.