Номер 9, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 9

Угол между прямыми в пространстве

1. Отрезки $CM$ и $B_1F$ соответственно — высоты граней $ABC$ и $A_1B_1C_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$. Найдите угол между прямыми $CM$ и $B_1F$, если $\angle BAC = 70^\circ$.

2. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AA_1 = A_1B_1 = 6\sqrt{2}$ см, $AD = 3$ см. Найдите косинус угла между прямыми $AB_1$ и $A_1D$.

3. Рёбра $AC$ и $BD$ тетраэдра $DABC$ равны $3\sqrt{2}$ см и $2$ см соответственно, а угол между прямыми $AC$ и $BD$ равен $45^\circ$. Найдите расстояние между серединами рёбер $AD$ и $BC$.

1.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным. Призма $ABCA_1B_1C_1$ осуществляет параллельный перенос плоскости основания $A_1B_1C_1$ в плоскость основания $ABC$.

Отрезок $CM$ является высотой грани $ABC$, проведенной из вершины $C$ к стороне $AB$. Значит, $CM \perp AB$.

Отрезок $B_1F$ является высотой грани $A_1B_1C_1$, проведенной из вершины $B_1$ к стороне $A_1C_1$. Значит, $B_1F \perp A_1C_1$.

Чтобы найти угол между прямыми $CM$ и $B_1F$, выполним параллельный перенос прямой $B_1F$ так, чтобы она пересекалась с прямой $CM$. Перенесем отрезок $B_1F$ из верхнего основания в нижнее. При этом точка $B_1$ перейдет в точку $B$, а отрезок $B_1F$ перейдет в отрезок $BK$, который будет высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$. Таким образом, $BK \parallel B_1F$ и $BK \perp AC$.

Искомый угол между прямыми $CM$ и $B_1F$ равен углу между высотами $CM$ и $BK$ треугольника $ABC$.

Рассмотрим четырехугольник $AMHK$, где $H$ — точка пересечения высот $CM$ и $BK$, $M$ — основание высоты на $AB$, а $K$ — основание высоты на $AC$. В этом четырехугольнике углы $\angle AMH$ и $\angle AKH$ являются прямыми, так как $CM$ и $BK$ — высоты. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

Следовательно, $\angle MHK + \angle MAK = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$.

Угол $\angle MAK$ совпадает с углом $\angle BAC$, который по условию равен $70^\circ$.

Тогда угол между прямыми, содержащими высоты, $\angle MHK = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

По определению, угол между прямыми является острым или прямым углом. Смежный с углом $\angle MHK$ угол равен $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$. Это и есть искомый угол.

Ответ: $70^\circ$.

2.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $A_1D$ воспользуемся геометрическим методом. Выполним параллельный перенос одной из прямых. Вектор переноса $\vec{A_1B_1}$ переводит прямую $A_1D$ в прямую $B_1C$. Следовательно, угол между прямыми $AB_1$ и $A_1D$ равен углу между прямыми $AB_1$ и $B_1C$. Эти прямые пересекаются в точке $B_1$, значит, искомый угол равен $\angle AB_1C$.

Найдем длины сторон треугольника $AB_1C$, используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных ребрами и диагоналями граней прямоугольного параллелепипеда.

Дано: $AA_1 = 6\sqrt{2}$ см, $A_1B_1 = 6\sqrt{2}$ см, $AD = 3$ см.

В прямоугольном параллелепипеде $AB = A_1B_1 = 6\sqrt{2}$ см, $BC = AD = 3$ см, $BB_1 = AA_1 = 6\sqrt{2}$ см, $B_1C_1 = AD = 3$ см.

1. Найдем $AB_1$ из прямоугольного треугольника $ABB_1$ ($ \angle ABB_1 = 90^\circ $):
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = (6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 72 + 72 = 144$.
$AB_1 = 12$ см.

2. Найдем $B_1C$ из прямоугольного треугольника $B_1C_1C$ ($ \angle B_1C_1C = 90^\circ $):
$B_1C^2 = B_1C_1^2 + CC_1^2 = 3^2 + (6\sqrt{2})^2 = 9 + 72 = 81$.
$B_1C = 9$ см.

3. Найдем $AC$ из прямоугольного треугольника $ABC$ ($ \angle ABC = 90^\circ $):
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = (6\sqrt{2})^2 + 3^2 = 72 + 9 = 81$.
$AC = 9$ см.

Теперь в треугольнике $AB_1C$ известны все три стороны: $AB_1 = 12$, $B_1C = 9$, $AC = 9$. Найдем косинус угла $\angle AB_1C$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB_1^2 + B_1C^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot B_1C \cdot \cos(\angle AB_1C)$

$9^2 = 12^2 + 9^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos(\angle AB_1C)$

$81 = 144 + 81 - 216 \cdot \cos(\angle AB_1C)$

$0 = 144 - 216 \cdot \cos(\angle AB_1C)$

$216 \cdot \cos(\angle AB_1C) = 144$

$\cos(\angle AB_1C) = \frac{144}{216} = \frac{2 \cdot 72}{3 \cdot 72} = \frac{2}{3}$

Поскольку косинус положителен, угол $\angle AB_1C$ острый, и он является углом между прямыми.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3.

Пусть $M$ — середина ребра $AD$, а $N$ — середина ребра $BC$. Также введем точки $P$ — середину ребра $AB$ и $Q$ — середину ребра $CD$. Рассмотрим четырехугольник $MPNQ$.

В треугольнике $ABD$ отрезок $MP$ является средней линией. Следовательно, $MP \parallel BD$ и $MP = \frac{1}{2}BD$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $PN$ является средней линией. Следовательно, $PN \parallel AC$ и $PN = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, из треугольников $BCD$ и $ACD$ получаем, что $NQ \parallel BD$, $NQ = \frac{1}{2}BD$ и $MQ \parallel AC$, $MQ = \frac{1}{2}AC$.

Таким образом, $MP \parallel NQ$ и $MP=NQ$, $PN \parallel MQ$ и $PN=MQ$. Четырехугольник $MPNQ$ — параллелограмм (этот факт известен как теорема Вариньона для пространственного четырехугольника).

Расстояние между серединами ребер $AD$ и $BC$ — это длина отрезка $MN$, который является одной из диагоналей этого параллелограмма.

Найдем длины сторон параллелограмма $MPNQ$:

$MP = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.

$PN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

Угол между прямыми $AC$ и $BD$ по условию равен $45^\circ$. Так как стороны параллелограмма $MP$ и $PN$ параллельны этим прямым, то угол между ними (обозначим его $\gamma$) равен либо $45^\circ$, либо $135^\circ$. Углы параллелограмма — это $\gamma$ и $180^\circ - \gamma$.

Найдем длину диагонали $MN$ по теореме косинусов для треугольника $MPN$:

$MN^2 = MP^2 + PN^2 - 2 \cdot MP \cdot PN \cdot \cos(\angle MPN)$.

Будем считать, что внутренний угол параллелограмма $\angle MPN$ равен острому углу между прямыми, то есть $45^\circ$.

$MN^2 = 1^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(45^\circ)$.

$MN^2 = 1 + \frac{9 \cdot 2}{4} - 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$MN^2 = 1 + \frac{9}{2} - \frac{3 \cdot 2}{2} = 1 + 4.5 - 3 = 2.5 = \frac{5}{2}$.

$MN = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$ см.