Номер 4, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 4

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

1. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, не принадлежащая плоскости треугольника. Через точку $B$ проведена прямая $b$, параллельная медиане $AM$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся.

2. На отрезке $CD$, который не пересекает плоскость $\beta$, отметили точку $E$. Через точки $C$, $D$ и $E$ провели параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $C_1$, $D_1$ и $E_1$ соответственно.

1) Докажите, что точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ лежат на одной прямой.

2) Найдите отрезок $CE$, если $ED = 18$ см, $C_1E_1 = 16$ см, $E_1D_1 = 24$ см.

3. Точка $F$ принадлежит грани $AA_1B_1B$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 16). Через точку $F$ провели прямую, параллельную прямой $BD$. Постройте точку пересечения этой прямой с плоскостью $AA_1D_1D$.

Рис. 16

1.

Для доказательства того, что прямые a и b скрещивающиеся, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

1. Пусть плоскость треугольника $ABC$ будет плоскостью $\alpha$.

2. Прямая b проходит через точку $B$ и параллельна медиане $AM$. Точки $A, B, M$ лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, прямая $AM$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямая b, проходящая через точку $B \in \alpha$ и параллельная прямой $AM \subset \alpha$, также лежит в плоскости $\alpha$.

3. Прямая a проходит через вершину $A$ и не принадлежит плоскости треугольника, то есть $a \not\subset \alpha$. Это означает, что прямая a пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $A$.

4. Теперь нужно проверить, лежит ли точка пересечения $A$ на прямой b. Прямая b проходит через точку $B$ и параллельна $AM$. В треугольнике $ABC$ точки $A, B, M$ не лежат на одной прямой, поэтому прямая, проходящая через $B$ параллельно $AM$, не может проходить через точку $A$. Таким образом, точка $A$ не лежит на прямой b.

Итак, прямая b лежит в плоскости $\alpha$, а прямая a пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не лежит на прямой b. По признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b являются скрещивающимися.

Ответ: Прямые a и b скрещивающиеся, что и требовалось доказать.

2.

1)

Рассмотрим две параллельные прямые $CC_1$ и $DD_1$. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость. Назовем ее $\gamma$.

Точки $C, D, C_1, D_1$ лежат в этой плоскости $\gamma$. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $CD$, она также принадлежит плоскости $\gamma$.

Прямая $EE_1$ проходит через точку $E \in \gamma$ и параллельна прямой $CC_1$ (которая также лежит в $\gamma$). Если прямая проходит через точку плоскости и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости, то она целиком лежит в данной плоскости. Следовательно, прямая $EE_1$ лежит в плоскости $\gamma$.

Таким образом, все три точки $C_1, D_1, E_1$ принадлежат плоскости $\gamma$.

По условию, точки $C_1, D_1, E_1$ также принадлежат плоскости $\beta$.

Следовательно, точки $C_1, D_1, E_1$ лежат на линии пересечения двух плоскостей $\gamma$ и $\beta$. Линия пересечения двух плоскостей - это прямая. Значит, точки $C_1, D_1$ и $E_1$ лежат на одной прямой.

Ответ: Точки $C_1$, $D_1$ и $E_1$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

2)

Поскольку параллельные прямые $CC_1, DD_1, EE_1$ пересекают прямые $CD$ и $C_1D_1$, то по обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках) они отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Следовательно, выполняется соотношение: $ \frac{CE}{ED} = \frac{C_1E_1}{E_1D_1} $

Подставим известные значения: $ \frac{CE}{18} = \frac{16}{24} $

Упростим дробь в правой части: $16/24 = 2/3$. $ \frac{CE}{18} = \frac{2}{3} $

Отсюда найдем $CE$: $ CE = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12 $ см.

Ответ: $CE = 12$ см.

3.

Для построения точки пересечения прямой, проходящей через $F$ параллельно $BD$, с плоскостью $AA_1D$, выполним следующие шаги:

1. В плоскости грани $AA_1B_1B$ через точку $F$ проведем прямую, параллельную ребру $AA_1$. Пусть эта прямая пересечет ребро $AB$ в точке $K$.

2. В плоскости основания $ABCD$ через полученную точку $K$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересечет ребро $AD$ в точке $P$. Точка $P$ принадлежит искомой плоскости $AA_1D$.

3. В плоскости боковой грани $AA_1D_1D$ через точку $P$ проведем прямую, параллельную ребру $AA_1$.

4. Исходная прямая, проходящая через точку $F$ и параллельная $BD$, пересечет построенную в шаге 3 прямую. Точка их пересечения и является искомой точкой. Обозначим ее $Q$.

Обоснование: Построенная точка $Q$ лежит на прямой, проходящей через $F$ параллельно $BD$ (назовем ее l), по построению. Также точка $Q$ лежит на прямой $PQ$, которая параллельна $AA_1$. Так как точка $P \in AD$ и прямая $PQ \parallel AA_1$, вся прямая $PQ$ лежит в плоскости $AA_1D$. Следовательно, точка $Q$ принадлежит плоскости $AA_1D$. Таким образом, $Q$ — точка пересечения прямой l и плоскости $AA_1D$.

Ответ: Искомая точка пересечения $Q$ построена согласно приведенному алгоритму.