Номер 20, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

1. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 10 см, 9 см и 1 см.

2. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 16 см и 10 см, а острый угол — $60^\circ$. Найдите большую диагональ параллелепипеда, если его высота равна $4\sqrt{10}$ см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны 6 см$^2$ и 8 см$^2$.

1. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда как $a$, $b$ и $c$, а его диагональ как $d$. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Согласно условию задачи, диагональ $d$ больше измерений на 10 см, 9 см и 1 см. Это можно записать в виде системы уравнений:
$d = a + 10$
$d = b + 9$
$d = c + 1$
Выразим измерения $a$, $b$ и $c$ через $d$:
$a = d - 10$
$b = d - 9$
$c = d - 1$
Подставим эти выражения в формулу для квадрата диагонали:
$d^2 = (d - 10)^2 + (d - 9)^2 + (d - 1)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$d^2 = (d^2 - 20d + 100) + (d^2 - 18d + 81) + (d^2 - 2d + 1)$
Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:
$d^2 = 3d^2 - 40d + 182$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2d^2 - 40d + 182 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$d^2 - 20d + 91 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 20, а их произведение равно 91. Легко подобрать корни: $d_1 = 7$ и $d_2 = 13$.
Теперь необходимо проверить, какой из корней является решением задачи. Измерения параллелепипеда должны быть положительными числами.
Если $d = 7$, то измерение $a = d - 10 = 7 - 10 = -3$ см. Длина не может быть отрицательной, поэтому этот корень не подходит.
Если $d = 13$, то измерения равны:
$a = 13 - 10 = 3$ см
$b = 13 - 9 = 4$ см
$c = 13 - 1 = 12$ см
Все измерения положительны, значит, это решение верное.
Ответ: 13 см.

2. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм со сторонами $a = 16$ см и $b = 10$ см, и острым углом $\alpha = 60^{\circ}$. Высота параллелепипеда $h = 4\sqrt{10}$ см. Большая диагональ параллелепипеда соответствует большей диагонали основания.
Сначала найдем диагонали основания параллелограмма ($d_1$ и $d_2$) с помощью теоремы косинусов. Тупой угол параллелограмма равен $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
Квадрат меньшей диагонали ($d_1$), лежащей напротив острого угла:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^{\circ}) = 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 256 + 100 - 160 = 196$.
Квадрат большей диагонали ($d_2$), лежащей напротив тупого угла:
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^{\circ}) = 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = 256 + 100 + 160 = 516$.
Квадрат диагонали ($D$) прямого параллелепипеда равен сумме квадрата соответствующей диагонали основания ($d$) и квадрата высоты ($h$): $D^2 = d^2 + h^2$.
Чтобы найти большую диагональ параллелепипеда ($D_{большая}$), используем большую диагональ основания ($d_2$):
$D_{большая}^2 = d_2^2 + h^2 = 516 + (4\sqrt{10})^2 = 516 + 16 \cdot 10 = 516 + 160 = 676$.
Теперь найдем длину большей диагонали:
$D_{большая} = \sqrt{676} = 26$ см.
Ответ: 26 см.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ – периметр основания, а $h$ – высота. Периметр ромба со стороной $a$ равен $P = 4a$, следовательно, $S_{бок} = 4ah$.
Диагональные сечения прямого параллелепипеда – это прямоугольники. Их стороны – это диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и высота параллелепипеда ($h$). Площади этих сечений равны:
$S_1 = d_1 \cdot h = 6$ см$^2$
$S_2 = d_2 \cdot h = 8$ см$^2$
Сторона ромба $a$ связана с его диагоналями $d_1$ и $d_2$ по теореме Пифагора, так как диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника с катетами $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$ и гипотенузой $a$:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \implies 4a^2 = d_1^2 + d_2^2$.
Из выражений для площадей сечений выразим $d_1$ и $d_2$:
$d_1 = \frac{6}{h}$
$d_2 = \frac{8}{h}$
Подставим эти выражения в формулу, связывающую сторону и диагонали ромба:
$4a^2 = (\frac{6}{h})^2 + (\frac{8}{h})^2 = \frac{36}{h^2} + \frac{64}{h^2} = \frac{100}{h^2}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как $a$ и $h$ - положительные величины):
$\sqrt{4a^2} = \sqrt{\frac{100}{h^2}} \implies 2a = \frac{10}{h}$.
Теперь найдем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 4ah = 2 \cdot (2a) \cdot h$.
Подставим найденное выражение для $2a$:
$S_{бок} = 2 \cdot (\frac{10}{h}) \cdot h = 20$ см$^2$.
Ответ: 20 см$^2$.