Номер 23, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Номировский

Самостоятельная работа № 23

Тетраэдр

1. Плоскость пересекает рёбра $AD$, $DB$, $BC$ и $AC$ тетраэдра $DABC$ в точках $M, N, K$ и $F$ соответственно. Известно, что $AM : MD = 2 : 5$, $DN : NB = 3 : 4$, $BK : KC = 5 : 3$. Найдите отношение $AF : FC$.

2. Найдите расстояние между серединами рёбер $SA$ и $BC$ ортоцентрического тетраэдра $SABC$, если $SA = 10$ см, $BC = 24$ см.

3. Найдите медианы равногранного тетраэдра $SABC$, если $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $CA = \sqrt{37}$ см.

1. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Менелая для тетраэдра (также известной как теорема Карно или теорема о трансверсали). Если плоскость пересекает рёбра $AD$, $DB$, $BC$ и $CA$ тетраэдра $DABC$ в точках $M$, $N$, $K$ и $F$ соответственно, то выполняется следующее соотношение:$$ \frac{AM}{MD} \cdot \frac{DN}{NB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1 $$В условии задачи даны следующие отношения:

• $AM : MD = 2 : 5 \implies \frac{AM}{MD} = \frac{2}{5}$
• $DN : NB = 3 : 4 \implies \frac{DN}{NB} = \frac{3}{4}$
• $BK : KC = 5 : 3 \implies \frac{BK}{KC} = \frac{5}{3}$

Подставим эти значения в формулу теоремы:$$ \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{CF}{FA} = 1 $$Упростим левую часть уравнения:$$ \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3} \cdot \frac{CF}{FA} = 1 $$$$ \frac{30}{60} \cdot \frac{CF}{FA} = 1 $$$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{CF}{FA} = 1 $$Отсюда находим отношение $\frac{CF}{FA}$:$$ \frac{CF}{FA} = 2 $$Нам нужно найти отношение $AF : FC$, которое является обратным к найденному:$$ \frac{AF}{FC} = \frac{1}{2} $$Таким образом, искомое отношение равно $1 : 2$.
Ответ: $1 : 2$.

2. Ортоцентрическим тетраэдром называется тетраэдр, у которого все высоты пересекаются в одной точке. Важным свойством ортоцентрического тетраэдра является то, что его противоположные рёбра попарно перпендикулярны. Для тетраэдра $SABC$ это означает:$SA \perp BC$, $SB \perp AC$, $SC \perp AB$.Пусть $M$ — середина ребра $SA$, а $N$ — середина ребра $BC$. Найдём расстояние $MN$ между этими точками, используя векторный метод. Выберем вершину $S$ в качестве начала координат. Тогда положение вершин $A, B, C$ задаётся векторами $\vec{SA}, \vec{SB}, \vec{SC}$.Положение точки $M$ (середины $SA$) определяется вектором $\vec{SM} = \frac{1}{2}\vec{SA}$.Положение точки $N$ (середины $BC$) определяется вектором $\vec{SN} = \frac{1}{2}(\vec{SB} + \vec{SC})$.Вектор, соединяющий точки $M$ и $N$, равен:$$ \vec{MN} = \vec{SN} - \vec{SM} = \frac{1}{2}(\vec{SB} + \vec{SC} - \vec{SA}) $$Квадрат длины отрезка $MN$ равен скалярному квадрату этого вектора:$$ MN^2 = |\vec{MN}|^2 = \frac{1}{4}(\vec{SB} + \vec{SC} - \vec{SA}) \cdot (\vec{SB} + \vec{SC} - \vec{SA}) $$$$ 4MN^2 = |\vec{SA}|^2 + |\vec{SB}|^2 + |\vec{SC}|^2 - 2\vec{SA}\cdot\vec{SB} - 2\vec{SA}\cdot\vec{SC} + 2\vec{SB}\cdot\vec{SC} $$Из свойства перпендикулярности противоположных рёбер ортоцентрического тетраэдра следуют ортогональность соответствующих векторов:

• $SA \perp BC \implies \vec{SA} \cdot \vec{BC} = 0 \implies \vec{SA} \cdot (\vec{SC} - \vec{SB}) = 0 \implies \vec{SA}\cdot\vec{SC} = \vec{SA}\cdot\vec{SB}$.
• $SB \perp AC \implies \vec{SB} \cdot \vec{AC} = 0 \implies \vec{SB} \cdot (\vec{SC} - \vec{SA}) = 0 \implies \vec{SB}\cdot\vec{SC} = \vec{SB}\cdot\vec{SA}$.

Таким образом, имеем равенство скалярных произведений: $\vec{SA}\cdot\vec{SB} = \vec{SB}\cdot\vec{SC} = \vec{SA}\cdot\vec{SC}$. Обозначим это значение через $k$.Подставим $k$ в выражение для $4MN^2$:$$ 4MN^2 = SA^2 + SB^2 + SC^2 - 2k - 2k + 2k = SA^2 + SB^2 + SC^2 - 2k $$Теперь выразим длину ребра $BC$ через векторы:$$ BC^2 = |\vec{BC}|^2 = |\vec{SC} - \vec{SB}|^2 = |\vec{SC}|^2 + |\vec{SB}|^2 - 2\vec{SB}\cdot\vec{SC} = SC^2 + SB^2 - 2k $$Отсюда $SB^2 + SC^2 = BC^2 + 2k$.Подставим это в выражение для $4MN^2$:$$ 4MN^2 = SA^2 + (BC^2 + 2k) - 2k = SA^2 + BC^2 $$Итак, мы получили формулу для квадрата расстояния между серединами рёбер $SA$ и $BC$:$$ MN^2 = \frac{1}{4}(SA^2 + BC^2) $$$$ MN = \frac{1}{2}\sqrt{SA^2 + BC^2} $$Подставим данные из условия задачи: $SA = 10$ см, $BC = 24$ см.$$ MN = \frac{1}{2}\sqrt{10^2 + 24^2} = \frac{1}{2}\sqrt{100 + 576} = \frac{1}{2}\sqrt{676} $$Так как $26^2 = 676$, то $\sqrt{676} = 26$.$$ MN = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13 \text{ см} $$
Ответ: 13 см.

3. Равногранным тетраэдром называется тетраэдр, все грани которого являются равными (конгруэнтными) треугольниками. Отсюда следует, что противоположные рёбра равногранного тетраэдра равны по длине.Даны длины рёбер основания $ABC$: $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $CA = \sqrt{37}$ см.Тогда длины остальных рёбер тетраэдра $SABC$ равны:

• $SC = AB = 5$ см
• $SA = BC = 6$ см
• $SB = CA = \sqrt{37}$ см

Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противоположной грани.В равногранном тетраэдре все четыре медианы равны по длине. Найдём длину одной из них, например, медианы $m_S$, проведённой из вершины $S$ к грани $ABC$.Воспользуемся общей формулой для квадрата длины медианы тетраэдра, проведённой из вершины $S$:$$ m_S^2 = \frac{SA^2 + SB^2 + SC^2}{3} - \frac{AB^2 + BC^2 + CA^2}{9} $$Вычислим суммы квадратов длин рёбер:

• Сумма квадратов рёбер, выходящих из вершины $S$: $SA^2 + SB^2 + SC^2 = 6^2 + (\sqrt{37})^2 + 5^2 = 36 + 37 + 25 = 98$.
• Сумма квадратов рёбер грани $ABC$: $AB^2 + BC^2 + CA^2 = 5^2 + 6^2 + (\sqrt{37})^2 = 25 + 36 + 37 = 98$.

(Равенство этих сумм является ещё одним свойством равногранного тетраэдра).Подставим эти значения в формулу:$$ m_S^2 = \frac{98}{3} - \frac{98}{9} = \frac{3 \cdot 98}{9} - \frac{98}{9} = \frac{2 \cdot 98}{9} = \frac{196}{9} $$Теперь найдём длину медианы $m_S$:$$ m_S = \sqrt{\frac{196}{9}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}} = \frac{14}{3} \text{ см} $$Поскольку все медианы равногранного тетраэдра равны, длина каждой из них составляет $\frac{14}{3}$ см.
Ответ: Все медианы равны $\frac{14}{3}$ см.